Номер 1021, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 1021, страница 199.

1021. При каком значении а многочлен стандартного вида, тождественно равный произведению (х² + х − 1)(х − а), не содержит:

а) х²; б) х?

Для того чтобы ответить на вопросы, необходимо сначала представить произведение многочленов в виде многочлена стандартного вида. Для этого раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(x^2 + x - 1)(x - a) = x \cdot (x^2 + x - 1) - a \cdot (x^2 + x - 1) = x^3 + x^2 - x - ax^2 - ax + a$

Теперь приведем подобные члены, сгруппировав их по степеням переменной $x$:

$x^3 + (x^2 - ax^2) + (-x - ax) + a = x^3 + (1 - a)x^2 + (-1 - a)x + a$

Теперь у нас есть многочлен в стандартном виде: $x^3 + (1 - a)x^2 - (1 + a)x + a$.

а)

Многочлен не содержит член $x^2$, если коэффициент при $x^2$ равен нулю. Коэффициент при $x^2$ в нашем многочлене равен $(1 - a)$.

Составим и решим уравнение:

$1 - a = 0$

$a = 1$

Таким образом, при $a = 1$ многочлен не будет содержать $x^2$.

Ответ: $a = 1$.

б)

Многочлен не содержит член $x$, если коэффициент при $x$ равен нулю. Коэффициент при $x$ в нашем многочлене равен $-(1 + a)$.

Составим и решим уравнение:

$-(1 + a) = 0$

$1 + a = 0$

$a = -1$

Таким образом, при $a = -1$ многочлен не будет содержать $x$.

Ответ: $a = -1$.