Номер 1028, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 - номер 1028, страница 199.

Условие.

1028. Преобразуйте в произведение:

а) 3a³ − 3ab² + a²b − b³;
б) 2x − a²y − 2a²x + y;

в) 3p − 2c³ − 3c³p + 2;
г) a⁴ − 24 + 8a − 3a³.

Решение 1.

а) 3a³ − 3ab² + a²b − b³ =
= (3a³ - 3ab²) + (a²b - b³) =
= 3a(a² - b²) + b(a² - b²) =
= (a² - b²) (3a + b) =
= (a - b) (a + b) (3a + b);

б) 2x − a²y − 2a²x + y =
= (2x - 2a²x) - (a²y - y) =
= 2x(1 - a²) - y(a² - 1) =
= 2x(1 - a²) + y(1 - a²) =
= (1 - a²) (2x + y) =
= (1 - a) (1 + a) (2x + y);

в) 3p − 2c³ − 3c³p + 2 =
= (3p - 3c³p) - (2c³ - 2) =
= 3p(1 - c³) - 2(c³ - 1) =
= 3p(1 - c³) + 2(1 - c³) =
= (1 - c³) (3p + 2) =
= (1 - c) (1 + c + c²) (3p + 2);

г) a⁴ − 24 + 8a − 3a³ =
= (a⁴ - 3a³) - (24 - 8a) =
= a³(a - 3) - 8(3 - a) =
= a³(a - 3) + 8(a - 3) =
= (a - 3) (a³ + 8) =
= (a - 3) (a + 2) (a² - 2a + 4).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $3a^3 - 3ab^2 + a^2b - b^3$

Для разложения на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым.

$ (3a^3 - 3ab^2) + (a^2b - b^3) $

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$ 3a(a^2 - b^2) + b(a^2 - b^2) $

Теперь вынесем общий множитель $(a^2 - b^2)$ за скобки:

$ (a^2 - b^2)(3a + b) $

Выражение $(a^2 - b^2)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$ (a - b)(a + b)(3a + b) $

Ответ: $(a - b)(a + b)(3a + b)$.

б) $2x - a^2y - 2a^2x + y$

Перегруппируем слагаемые для удобства разложения на множители:

$ (2x - 2a^2x) + (y - a^2y) $

Вынесем общие множители из каждой группы:

$ 2x(1 - a^2) + y(1 - a^2) $

Вынесем общий множитель $(1 - a^2)$ за скобки:

$ (1 - a^2)(2x + y) $

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ к выражению $(1 - a^2)$:

$ (1 - a)(1 + a)(2x + y) $

Ответ: $(1 - a)(1 + a)(2x + y)$.

в) $3p - 2c^3 - 3c^3p + 2$

Перегруппируем слагаемые:

$ (3p - 3c^3p) + (2 - 2c^3) $

Вынесем общие множители из каждой группы:

$ 3p(1 - c^3) + 2(1 - c^3) $

Вынесем общий множитель $(1 - c^3)$ за скобки:

$ (1 - c^3)(3p + 2) $

К выражению $(1 - c^3)$ применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:

$ (1 - c)(1^2 + 1 \cdot c + c^2)(3p + 2) = (1 - c)(1 + c + c^2)(3p + 2) $

Ответ: $(1 - c)(1 + c + c^2)(3p + 2)$.

г) $a^4 - 24 + 8a - 3a^3$

Переставим слагаемые для удобства и сгруппируем их:

$ a^4 - 3a^3 + 8a - 24 = (a^4 - 3a^3) + (8a - 24) $

Вынесем общие множители из каждой группы:

$ a^3(a - 3) + 8(a - 3) $

Вынесем общий множитель $(a - 3)$ за скобки:

$ (a - 3)(a^3 + 8) $

Выражение $(a^3 + 8)$ является суммой кубов. Применим формулу $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$:

$ a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - a \cdot 2 + 2^2) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4) $

Таким образом, итоговое разложение имеет вид:

$ (a - 3)(a + 2)(a^2 - 2a + 4) $

Ответ: $(a - 3)(a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.