Номер 1035, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 - номер 1035, страница 200.

Условие.

1035. Разложите на множители:
a) х³ + у³ + 2ху(х + у);
б) х³ − у³ − 5х(х² + ху + у²);
в) 2b³ + а(а² − 3b²);
г) p³ − 2p² + 2p − 1;
д) 8b³ + 6b² + 3b + 1;
е) a³ − 4a² + 20a − 125.

Решение 1.

a) х³ + у³ + 2ху(х + у) =
= (x + y) (x² - xy + y²) +
+ 2xy(x + y) =
= (x + y) (x² - xy + y² + 2xy) =
= (x + y) (x² + xy + y²);

б) х³ − у³ − 5х(х² + ху + у²) =
= (x - y) (x² + xy + y²) -
- 5x(x² + xy + y²) =
= (x² + xy + y²) (x - y - 5x) =
= (x² + xy + y²) (-4x - y);

в) 2b³ + а(а² − 3b²) =
= b³ + b³ + a³ - 3ab² =
= b³ + b³ + a³ - ab² - ab² - ab² =
= (b³ - ab²) + (b³ - ab²) +
+ (a³ - ab²) = b²(b - a) +
+ b²(b - a) + a(a² - b²) =
= b²(b - a) + b²(b - a) +
+ a(a - b) (a + b) =
= b²(b - a) + b²(b - a) -
- a(b - a) (a + b) =
= (b - a) (b² + b² - a(a + b)) =
= (b - a) (b² + b² - a² - ab) =
= (b - a) ((b² - a²) + (b² - ab)) =
= (b - a) ((b - a) (b + a) + b(b -a) =
= (b - a) (b - a) (b + a + b) =
= (b - a)² (a + 2b) =
= (a - b)² (a + 2b);

г) p³ − 2p² + 2p − 1 =
= (p³ - 1) - (2p² - 2p) =
= (p - 1) (p² + p + 1) - 2p(p - 1) =
= (p - 1) (p² + p + 1 - 2p) =
= (p - 1) (p² - p + 1);

д) 8b³ + 6b² + 3b + 1 =
= (8b³ + 1) + (6b² + 3b) =
= (2b + 1) (4b² - 2b + 1) +
+ 3b(2b + 1) =
= (2b + 1) (4b² - 2b + 1 + 3b) =
= (2b + 1) (4b² + b + 1);

е) a³ − 4a² + 20a − 125 =
= (a³ - 125) - (4a² - 20a) =
= (a - 5) (a² + 5a + 25) - 4a(a - 5) =
= (a - 5) (a² + 5a + 25 - 4a) =
= (a - 5) (a² + a + 25).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Исходное выражение: $x^3 + y^3 + 2xy(x + y)$.
Для разложения на множители воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Применим ее к первым двум слагаемым: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
Теперь подставим это в исходное выражение: $(x+y)(x^2 - xy + y^2) + 2xy(x+y)$.
Мы видим общий множитель $(x+y)$, который можно вынести за скобки: $(x+y) \cdot ((x^2 - xy + y^2) + 2xy)$.
Упростим выражение во второй скобке: $(x+y) \cdot (x^2 - xy + 2xy + y^2) = (x+y)(x^2 + xy + y^2)$.

Ответ: $(x+y)(x^2 + xy + y^2)$.

б) Исходное выражение: $x^3 - y^3 - 5x(x^2 + xy + y^2)$.
Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.
Применим ее к первым двум слагаемым: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.
Подставим в исходное выражение: $(x-y)(x^2 + xy + y^2) - 5x(x^2 + xy + y^2)$.
Общий множитель $(x^2 + xy + y^2)$ вынесем за скобки: $(x^2 + xy + y^2) \cdot ((x-y) - 5x)$.
Упростим выражение во второй скобке: $(x^2 + xy + y^2) \cdot (x - y - 5x) = (x^2 + xy + y^2)(-4x - y)$.
Вынесем знак минус из второй скобки: $-(x^2 + xy + y^2)(4x + y)$.

Ответ: $-(4x+y)(x^2+xy+y^2)$.

в) Исходное выражение: $2b^3 + a(a^2 - 3b^2)$.
Раскроем скобки и перепишем выражение: $2b^3 + a^3 - 3ab^2 = a^3 - 3ab^2 + 2b^3$.
Это кубический многочлен. Можно разложить его на множители методом группировки. Представим $2b^3$ как $-b^3+3b^3$ или $a^3$ как... Нет, лучше представим $-3ab^2$ как $-ab^2-2ab^2$.
$a^3 - ab^2 - 2ab^2 + 2b^3$.
Сгруппируем слагаемые: $(a^3 - ab^2) + (-2ab^2 + 2b^3)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $a(a^2 - b^2) - 2b^2(a-b)$.
Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $a(a-b)(a+b) - 2b^2(a-b)$.
Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки: $(a-b) \cdot (a(a+b) - 2b^2)$.
Раскроем скобки и упростим выражение во второй скобке: $(a-b) \cdot (a^2 + ab - 2b^2)$.
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $a^2 + ab - 2b^2$: $a^2 + 2ab - ab - 2b^2 = a(a+2b) - b(a+2b) = (a-b)(a+2b)$.
Подставим это в наше выражение: $(a-b)(a-b)(a+2b) = (a-b)^2(a+2b)$.

Ответ: $(a-b)^2(a+2b)$.

г) Исходное выражение: $p^3 - 2p^2 + 2p - 1$.
Сгруппируем слагаемые: $(p^3 - 1) + (-2p^2 + 2p)$.
Применим формулу разности кубов к первой группе и вынесем общий множитель из второй: $(p-1)(p^2 + p + 1) - 2p(p - 1)$.
Вынесем общий множитель $(p-1)$ за скобки: $(p-1) \cdot ((p^2 + p + 1) - 2p)$.
Упростим выражение во второй скобке: $(p-1)(p^2 + p - 2p + 1) = (p-1)(p^2 - p + 1)$.

Ответ: $(p-1)(p^2 - p + 1)$.

д) Исходное выражение: $8b^3 + 6b^2 + 3b + 1$.
Сгруппируем слагаемые: $(8b^3 + 1) + (6b^2 + 3b)$.
Первая группа это сумма кубов $(2b)^3 + 1^3$. Разложим ее по формуле: $(2b+1)( (2b)^2 - 2b \cdot 1 + 1^2) = (2b+1)(4b^2 - 2b + 1)$.
Во второй группе вынесем общий множитель $3b$: $3b(2b+1)$.
Теперь выражение выглядит так: $(2b+1)(4b^2 - 2b + 1) + 3b(2b+1)$.
Вынесем общий множитель $(2b+1)$: $(2b+1) \cdot ((4b^2 - 2b + 1) + 3b)$.
Упростим выражение во второй скобке: $(2b+1)(4b^2 - 2b + 3b + 1) = (2b+1)(4b^2 + b + 1)$.

Ответ: $(2b+1)(4b^2 + b + 1)$.

е) Исходное выражение: $a^3 - 4a^2 + 20a - 125$.
Сгруппируем слагаемые: $(a^3 - 125) + (-4a^2 + 20a)$.
Первая группа это разность кубов $a^3 - 5^3$. Разложим ее по формуле: $(a-5)(a^2 + 5a + 25)$.
Во второй группе вынесем общий множитель $-4a$: $-4a(a - 5)$.
Теперь выражение выглядит так: $(a-5)(a^2 + 5a + 25) - 4a(a-5)$.
Вынесем общий множитель $(a-5)$: $(a-5) \cdot ((a^2 + 5a + 25) - 4a)$.
Упростим выражение во второй скобке: $(a-5)(a^2 + 5a - 4a + 25) = (a-5)(a^2 + a + 25)$.

Ответ: $(a-5)(a^2 + a + 25)$.