Номер 1037, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 - номер 1037, страница 200.

Условие.

1037. Докажите, что многочлен принимает лишь неотрицательные значения:
а) х² − 2ху + у² + а²;
б) 4х² + а² − 4х + 1;
в) 9b² − 6b + 4c² + 1;
г) а² + 2аb + 2b² + 2b + 1;
д) х² − 4xy + y² + x²y² + 1;
e) х² + y² + 2х + 6y + 10.

Решение 1.

а) х² − 2ху + у² + а² =
= (x - y)² + a² ≥ 0;

б) 4х² + а² − 4х + 1 =
= (4x² - 4x + 1) + a² =
= (2x - 1)² + a² ≥ 0;

в) 9b² − 6b + 4c² + 1 =
= (9b² - 6b + 1) + 4c² =
= (3b - 1)² + 4c² ≥ 0;

г) а² + 2аb + 2b² + 2b + 1 =
= (a² + 2ab + b²) + (b² + 2b + 1) =
= (a + b)² + (b + 1)² ≥ 0;

д) х² − 4xy + y² + x²y² + 1 =
= (x² - 2xy + y²) + (x²y² - 2xy + 1) =
= (x - y)² + (xy - 1)² ≥ 0;

e) х² + y² + 2х + 6y + 10 =
= (x² + 2x + 1) + (y² + 6y + 9) =
= (x + 1)² + (y + 3)².

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что многочлен $x^2 - 2xy + y^2 + a^2$ принимает лишь неотрицательные значения, преобразуем его, выделив полный квадрат. Первые три слагаемых $x^2 - 2xy + y^2$ представляют собой формулу квадрата разности: $(x-y)^2$. Таким образом, исходный многочлен можно переписать в виде: $x^2 - 2xy + y^2 + a^2 = (x-y)^2 + a^2$. Выражение $(x-y)^2$ является квадратом числа и, следовательно, всегда больше или равно нулю: $(x-y)^2 \ge 0$. Аналогично, $a^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательным числом. Следовательно, $(x-y)^2 + a^2 \ge 0$ при любых значениях переменных.
Ответ: Выражение представлено в виде суммы квадратов $(x-y)^2 + a^2$, поэтому оно всегда неотрицательно.

б) Рассмотрим многочлен $4x^2 + a^2 - 4x + 1$. Перегруппируем слагаемые для выделения полного квадрата: $(4x^2 - 4x + 1) + a^2$. Выражение в скобках $4x^2 - 4x + 1$ является полным квадратом разности, так как $4x^2 = (2x)^2$, $1 = 1^2$, а $-4x = -2 \cdot (2x) \cdot 1$. Таким образом, $4x^2 - 4x + 1 = (2x-1)^2$. Исходный многочлен можно представить в виде: $(2x-1)^2 + a^2$. Так как $(2x-1)^2 \ge 0$ и $a^2 \ge 0$ для любых значений $x$ и $a$, их сумма также неотрицательна.
Ответ: Выражение представлено в виде суммы квадратов $(2x-1)^2 + a^2$, поэтому оно всегда неотрицательно.

в) Рассмотрим многочлен $9b^2 - 6b + 4c^2 + 1$. Перегруппируем слагаемые: $(9b^2 - 6b + 1) + 4c^2$. Выражение в скобках $9b^2 - 6b + 1$ является полным квадратом разности: $(3b-1)^2$. Слагаемое $4c^2$ можно представить как квадрат выражения $2c$: $(2c)^2$. Тогда исходный многочлен можно записать в виде суммы квадратов: $(3b-1)^2 + (2c)^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, имеем $(3b-1)^2 \ge 0$ и $(2c)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных выражений всегда неотрицательна.
Ответ: Выражение представлено в виде суммы квадратов $(3b-1)^2 + (2c)^2$, поэтому оно всегда неотрицательно.

г) Рассмотрим многочлен $a^2 + 2ab + 2b^2 + 2b + 1$. Для выделения полных квадратов представим $2b^2$ как $b^2 + b^2$: $a^2 + 2ab + b^2 + b^2 + 2b + 1$. Теперь сгруппируем слагаемые: $(a^2 + 2ab + b^2) + (b^2 + 2b + 1)$. Каждая из групп является полным квадратом суммы: Первая группа: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$. Вторая группа: $b^2 + 2b + 1 = (b+1)^2$. Следовательно, исходное выражение равно сумме двух квадратов: $(a+b)^2 + (b+1)^2$. Сумма квадратов всегда неотрицательна, так как $(a+b)^2 \ge 0$ и $(b+1)^2 \ge 0$.
Ответ: Выражение представлено в виде суммы квадратов $(a+b)^2 + (b+1)^2$, поэтому оно всегда неотрицательно.

д) Рассмотрим многочлен $x^2 - 4xy + y^2 + x^2y^2 + 1$. Представим член $-4xy$ в виде суммы $-2xy - 2xy$ и перегруппируем слагаемые: $(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2y^2 - 2xy + 1)$. Заметим, что каждая из групп является полным квадратом: Первая группа: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$. Вторая группа: $x^2y^2 - 2xy + 1 = (xy)^2 - 2 \cdot (xy) \cdot 1 + 1^2 = (xy-1)^2$. Таким образом, многочлен можно представить как сумму двух квадратов: $(x-y)^2 + (xy-1)^2$. Сумма квадратов двух выражений всегда неотрицательна.
Ответ: Выражение представлено в виде суммы квадратов $(x-y)^2 + (xy-1)^2$, поэтому оно всегда неотрицательно.

е) Рассмотрим многочлен $x^2 + y^2 + 2x + 6y + 10$. Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и слагаемые, содержащие $y$: $(x^2 + 2x) + (y^2 + 6y) + 10$. Дополним каждую группу до полного квадрата. Для этого представим константу $10$ как $1+9$: $(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9)$. Теперь каждое выражение в скобках является полным квадратом суммы: Первая группа: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Вторая группа: $y^2 + 6y + 9 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 = (y+3)^2$. Следовательно, исходное выражение равно сумме двух квадратов: $(x+1)^2 + (y+3)^2$. Так как $(x+1)^2 \ge 0$ и $(y+3)^2 \ge 0$, их сумма всегда неотрицательна.
Ответ: Выражение представлено в виде суммы квадратов $(x+1)^2 + (y+3)^2$, поэтому оно всегда неотрицательно.