Номер 1034, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 - номер 1034, страница 200.

Условие.

1034. Преобразуйте в произведение выражение:
а) а² + b² − 2аb − 25;
б) 36 − b² − с² + 2bс;
в) 49 − 2ах − а² − х²;
г) b² − a² − 12a − 36;
д) 81a² + 6bc − 9b² − c²;
е) b²c² − 4bc − b² − c² + 1.

Решение 1.

а) а² + b² − 2аb − 25 =
= (a - b)² - 25 =
= (a - b - 5) (a - b + 5);

б) 36 − b² − с² + 2bс =
= 36 - (b² + c² - 2bc) =
= 6² - (b - c)² =
= (6 - b + c) (6 + b - c);

в) 49 − 2ах − а² − х² =
= 49 - (2ax + a² + x²) =
= 7² - (a + x)² =
= (7(a + x)) (7 + a + x) =
= (7 - a - x) (7 + a + x);

г) b² − a² − 12a − 36 =
= b² - (a² + 12a + 36) =
= b² - (a + 6)² =
= (b - a - 6) (b + a + 6);

д) 81a² + 6bc − 9b² − c² =
= 81a² - (9b² - 6bc + c²) =
= 81a² - (3b - c)² =
= (9a - 3b + c) (9a + 3b - c);

е) b²c² − 4bc − b² − c² + 1 =
= (b²c² - 2bc + 1) - (2bc + b² + c²) =
= (bc - 1)² - (b + c)² =
= (bc - 1 - b - c) (bc - 1 + b + c).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы преобразовать выражение $a^2 + b^2 - 2ab - 25$ в произведение, сначала сгруппируем первые три члена: $a^2 - 2ab + b^2$. Это формула квадрата разности $(a-b)^2$. Теперь выражение выглядит как $(a-b)^2 - 25$. Поскольку $25 = 5^2$, мы получили разность квадратов $(a-b)^2 - 5^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a-b$ и $y = 5$. В результате получаем $((a-b) - 5)((a-b) + 5)$, что равно $(a-b-5)(a-b+5)$.
Ответ: $(a-b-5)(a-b+5)$

б) В выражении $36 - b^2 - c^2 + 2bc$ сгруппируем последние три члена и вынесем за скобку минус: $36 - (b^2 - 2bc + c^2)$. Выражение в скобках представляет собой квадрат разности $(b-c)^2$. Таким образом, мы получаем $36 - (b-c)^2$. Так как $36 = 6^2$, это разность квадратов $6^2 - (b-c)^2$. Применив формулу разности квадратов, получим $(6 - (b-c))(6 + (b-c))$, что равно $(6-b+c)(6+b-c)$.
Ответ: $(6-b+c)(6+b-c)$

в) Рассмотрим выражение $49 - 2ax - a^2 - x^2$. Сгруппируем последние три члена и вынесем минус: $49 - (a^2 + 2ax + x^2)$. В скобках находится квадрат суммы $(a+x)^2$. Выражение принимает вид $49 - (a+x)^2$. Поскольку $49 = 7^2$, это разность квадратов $7^2 - (a+x)^2$. По формуле разности квадратов получаем $(7 - (a+x))(7 + (a+x))$, что равно $(7-a-x)(7+a+x)$.
Ответ: $(7-a-x)(7+a+x)$

г) В выражении $b^2 - a^2 - 12a - 36$ сгруппируем члены с переменной $a$ и вынесем минус: $b^2 - (a^2 + 12a + 36)$. Выражение в скобках является полным квадратом, так как $a^2 + 12a + 36 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 6 + 6^2 = (a+6)^2$. Исходное выражение становится $b^2 - (a+6)^2$. Это разность квадратов, которую можно разложить на множители: $(b - (a+6))(b + (a+6))$, что равно $(b-a-6)(b+a+6)$.
Ответ: $(b-a-6)(b+a+6)$

д) В выражении $81a^2 + 6bc - 9b^2 - c^2$ необходимо правильно сгруппировать слагаемые. Перепишем его так: $81a^2 - (9b^2 - 6bc + c^2)$. Выражение в скобках представляет собой квадрат разности: $(3b)^2 - 2 \cdot (3b) \cdot c + c^2 = (3b-c)^2$. Тогда исходное выражение равно $81a^2 - (3b-c)^2$. Так как $81a^2 = (9a)^2$, мы имеем разность квадратов $(9a)^2 - (3b-c)^2$. Раскладываем по формуле: $(9a - (3b-c))(9a + (3b-c))$, что равно $(9a - 3b + c)(9a + 3b - c)$.
Ответ: $(9a - 3b + c)(9a + 3b - c)$

е) Преобразуем выражение $b^2c^2 - 4bc - b^2 - c^2 + 1$. Для выделения разности квадратов сгруппируем слагаемые следующим образом: $(b^2c^2 - 2bc + 1) - (b^2 + 2bc + c^2)$. Первое выражение в скобках — это квадрат разности $(bc-1)^2$. Второе выражение в скобках — это квадрат суммы $(b+c)^2$. Таким образом, мы получаем разность квадратов $(bc-1)^2 - (b+c)^2$. Применяя формулу разности квадратов, имеем $((bc-1) - (b+c))((bc-1) + (b+c))$, что равно $(bc-b-c-1)(bc+b+c-1)$.
Ответ: $(bc-b-c-1)(bc+b+c-1)$