Номер 1040, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 - номер 1040, страница 200.

Условие.

1040. Докажите тождество (10n + 5)² = 100n(n + 1) + 25. Используя это тождество, сформулируйте правило возведения в квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5. Найдите по этому правилу 25², 45², 75², 115².

Решение 1.

(10n + 5)² = 100n(n + 1) + 25

100n² + 100n + 25 =
= 100n² + 100n + 25;

25² = (10 ⋅ 2 + 5)² =
= 100 ⋅ 2(2 + 1) + 25 = 625;

45² = (10 ⋅ 4 + 5)² =
= 100 ⋅ 4(4 + 1) + 25 = 2025;

75² = (10 ⋅ 7 + 5)² =
= 100 ⋅ 7(7 + 1) + 25 = 5625;

115² = (10 ⋅ 11 + 5)² =
= 100 ⋅ 11 ⋅ (11 + 1) + 25 =
= 1100 ⋅ 12 + 25 = 13 225.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Докажите тождество $(10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = 10n$ и $b = 5$.

$(10n + 5)^2 = (10n)^2 + 2 \cdot 10n \cdot 5 + 5^2 = 100n^2 + 100n + 25$.

Теперь вынесем общий множитель $100n$ за скобки в первых двух слагаемых:

$100n^2 + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25$.

Таким образом, левая часть тождества после преобразований стала равна правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: $(10n + 5)^2 = 100n^2 + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25$. Тождество доказано.

Используя это тождество, сформулируйте правило возведения в квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5.

Любое натуральное число, которое оканчивается на 5, можно представить в виде $10n + 5$. Здесь $n$ — это число, которое получается, если у исходного числа отбросить последнюю цифру 5. Например, для числа 35 $n=3$, для числа 125 $n=12$.

Доказанное тождество $(10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25$ показывает, как вычислить квадрат такого числа. Правая часть $100n(n + 1) + 25$ состоит из двух частей: произведения $n(n+1)$, умноженного на 100, и числа 25. Умножение на 100 означает, что к числу $n(n+1)$ нужно приписать справа два нуля. Прибавление к такому числу 25 означает, что последние две цифры результата будут 25, а все цифры перед ними образуют число $n(n+1)$.

Ответ: Чтобы возвести в квадрат натуральное число, оканчивающееся на 5, нужно число, полученное после отбрасывания последней цифры 5, умножить на следующее за ним натуральное число, а затем к результату этого умножения приписать справа 25.

Найдите по этому правилу $25^2, 45^2, 75^2, 115^2$.

Применим сформулированное правило для каждого числа:

• Для $25^2$: число без последней пятерки — это $n=2$. Умножаем $2$ на следующее число ($3$): $2 \cdot 3 = 6$. Приписываем 25 и получаем 625.
• Для $45^2$: число без последней пятерки — это $n=4$. Умножаем $4$ на следующее число ($5$): $4 \cdot 5 = 20$. Приписываем 25 и получаем 2025.
• Для $75^2$: число без последней пятерки — это $n=7$. Умножаем $7$ на следующее число ($8$): $7 \cdot 8 = 56$. Приписываем 25 и получаем 5625.
• Для $115^2$: число без последней пятерки — это $n=11$. Умножаем $11$ на следующее число ($12$): $11 \cdot 12 = 132$. Приписываем 25 и получаем 13225.

Ответ: $25^2 = 625$; $45^2 = 2025$; $75^2 = 5625$; $115^2 = 13225$.