Номер 1039, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 1039, страница 200.

1039. Делится ли на 5 при любом целом n выражение:
а) (2n + 3)(3n − 7) − (n + 1)(n − 1);
б) (7n + 8)(n − 1) + (3n − 2)(n + 2)?

а)

Чтобы определить, делится ли выражение на 5, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
Исходное выражение: $(2n + 3)(3n - 7) - (n + 1)(n - 1)$.
Раскроем произведение первых двух скобок:
$(2n + 3)(3n - 7) = 2n \cdot 3n + 2n \cdot (-7) + 3 \cdot 3n + 3 \cdot (-7) = 6n^2 - 14n + 9n - 21 = 6n^2 - 5n - 21$.
Произведение $(n + 1)(n - 1)$ является формулой разности квадратов:
$(n + 1)(n - 1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$.
Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:
$(6n^2 - 5n - 21) - (n^2 - 1) = 6n^2 - 5n - 21 - n^2 + 1$.
Приведем подобные слагаемые:
$(6n^2 - n^2) - 5n + (-21 + 1) = 5n^2 - 5n - 20$.
В полученном выражении $5n^2 - 5n - 20$ можно вынести общий множитель 5 за скобки:
$5(n^2 - n - 4)$.
Поскольку $n$ по условию является целым числом, то и выражение в скобках $(n^2 - n - 4)$ всегда будет целым числом. Если обозначить это целое число как $k$, то исходное выражение можно представить в виде $5k$. Любое число, являющееся произведением целого числа и 5, делится на 5 без остатка.
Следовательно, выражение делится на 5 при любом целом $n$.
Ответ: да, делится.

б)

Упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
Исходное выражение: $(7n + 8)(n - 1) + (3n - 2)(n + 2)$.
Раскроем произведение первых двух скобок:
$(7n + 8)(n - 1) = 7n \cdot n + 7n \cdot (-1) + 8 \cdot n + 8 \cdot (-1) = 7n^2 - 7n + 8n - 8 = 7n^2 + n - 8$.
Раскроем произведение вторых двух скобок:
$(3n - 2)(n + 2) = 3n \cdot n + 3n \cdot 2 - 2 \cdot n - 2 \cdot 2 = 3n^2 + 6n - 2n - 4 = 3n^2 + 4n - 4$.
Теперь сложим полученные многочлены:
$(7n^2 + n - 8) + (3n^2 + 4n - 4) = 7n^2 + n - 8 + 3n^2 + 4n - 4$.
Приведем подобные слагаемые:
$(7n^2 + 3n^2) + (n + 4n) + (-8 - 4) = 10n^2 + 5n - 12$.
Проверим, делится ли полученное выражение $10n^2 + 5n - 12$ на 5.
Первые два слагаемых, $10n^2$ и $5n$, очевидно делятся на 5. Их сумму можно записать как $5(2n^2 + n)$.
Тогда все выражение можно представить в виде $5(2n^2 + n) - 12$.
При любом целом $n$ выражение $5(2n^2 + n)$ делится на 5. Однако, чтобы вся сумма делилась на 5, необходимо, чтобы и число -12 делилось на 5, что неверно. Таким образом, вся сумма не делится на 5.
Чтобы это доказать, достаточно привести один контрпример. Возьмем $n = 1$:
$10(1)^2 + 5(1) - 12 = 10 + 5 - 12 = 3$.
Число 3 не делится на 5. Следовательно, выражение не делится на 5 при любом целом $n$.
Ответ: нет, не делится.