Страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1034. Преобразуйте в произведение выражение:
а) а² + b² − 2аb − 25;
б) 36 − b² − с² + 2bс;
в) 49 − 2ах − а² − х²;
г) b² − a² − 12a − 36;
д) 81a² + 6bc − 9b² − c²;
е) b²c² − 4bc − b² − c² + 1.

а) Чтобы преобразовать выражение $a^2 + b^2 - 2ab - 25$ в произведение, сначала сгруппируем первые три члена: $a^2 - 2ab + b^2$. Это формула квадрата разности $(a-b)^2$. Теперь выражение выглядит как $(a-b)^2 - 25$. Поскольку $25 = 5^2$, мы получили разность квадратов $(a-b)^2 - 5^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a-b$ и $y = 5$. В результате получаем $((a-b) - 5)((a-b) + 5)$, что равно $(a-b-5)(a-b+5)$.
Ответ: $(a-b-5)(a-b+5)$

б) В выражении $36 - b^2 - c^2 + 2bc$ сгруппируем последние три члена и вынесем за скобку минус: $36 - (b^2 - 2bc + c^2)$. Выражение в скобках представляет собой квадрат разности $(b-c)^2$. Таким образом, мы получаем $36 - (b-c)^2$. Так как $36 = 6^2$, это разность квадратов $6^2 - (b-c)^2$. Применив формулу разности квадратов, получим $(6 - (b-c))(6 + (b-c))$, что равно $(6-b+c)(6+b-c)$.
Ответ: $(6-b+c)(6+b-c)$

в) Рассмотрим выражение $49 - 2ax - a^2 - x^2$. Сгруппируем последние три члена и вынесем минус: $49 - (a^2 + 2ax + x^2)$. В скобках находится квадрат суммы $(a+x)^2$. Выражение принимает вид $49 - (a+x)^2$. Поскольку $49 = 7^2$, это разность квадратов $7^2 - (a+x)^2$. По формуле разности квадратов получаем $(7 - (a+x))(7 + (a+x))$, что равно $(7-a-x)(7+a+x)$.
Ответ: $(7-a-x)(7+a+x)$

г) В выражении $b^2 - a^2 - 12a - 36$ сгруппируем члены с переменной $a$ и вынесем минус: $b^2 - (a^2 + 12a + 36)$. Выражение в скобках является полным квадратом, так как $a^2 + 12a + 36 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 6 + 6^2 = (a+6)^2$. Исходное выражение становится $b^2 - (a+6)^2$. Это разность квадратов, которую можно разложить на множители: $(b - (a+6))(b + (a+6))$, что равно $(b-a-6)(b+a+6)$.
Ответ: $(b-a-6)(b+a+6)$

д) В выражении $81a^2 + 6bc - 9b^2 - c^2$ необходимо правильно сгруппировать слагаемые. Перепишем его так: $81a^2 - (9b^2 - 6bc + c^2)$. Выражение в скобках представляет собой квадрат разности: $(3b)^2 - 2 \cdot (3b) \cdot c + c^2 = (3b-c)^2$. Тогда исходное выражение равно $81a^2 - (3b-c)^2$. Так как $81a^2 = (9a)^2$, мы имеем разность квадратов $(9a)^2 - (3b-c)^2$. Раскладываем по формуле: $(9a - (3b-c))(9a + (3b-c))$, что равно $(9a - 3b + c)(9a + 3b - c)$.
Ответ: $(9a - 3b + c)(9a + 3b - c)$

е) Преобразуем выражение $b^2c^2 - 4bc - b^2 - c^2 + 1$. Для выделения разности квадратов сгруппируем слагаемые следующим образом: $(b^2c^2 - 2bc + 1) - (b^2 + 2bc + c^2)$. Первое выражение в скобках — это квадрат разности $(bc-1)^2$. Второе выражение в скобках — это квадрат суммы $(b+c)^2$. Таким образом, мы получаем разность квадратов $(bc-1)^2 - (b+c)^2$. Применяя формулу разности квадратов, имеем $((bc-1) - (b+c))((bc-1) + (b+c))$, что равно $(bc-b-c-1)(bc+b+c-1)$.
Ответ: $(bc-b-c-1)(bc+b+c-1)$

1035. Разложите на множители:
a) х³ + у³ + 2ху(х + у);
б) х³ − у³ − 5х(х² + ху + у²);
в) 2b³ + а(а² − 3b²);
г) p³ − 2p² + 2p − 1;
д) 8b³ + 6b² + 3b + 1;
е) a³ − 4a² + 20a − 125.

а) Исходное выражение: $x^3 + y^3 + 2xy(x + y)$.
Для разложения на множители воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Применим ее к первым двум слагаемым: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
Теперь подставим это в исходное выражение: $(x+y)(x^2 - xy + y^2) + 2xy(x+y)$.
Мы видим общий множитель $(x+y)$, который можно вынести за скобки: $(x+y) \cdot ((x^2 - xy + y^2) + 2xy)$.
Упростим выражение во второй скобке: $(x+y) \cdot (x^2 - xy + 2xy + y^2) = (x+y)(x^2 + xy + y^2)$.

Ответ: $(x+y)(x^2 + xy + y^2)$.

б) Исходное выражение: $x^3 - y^3 - 5x(x^2 + xy + y^2)$.
Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.
Применим ее к первым двум слагаемым: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.
Подставим в исходное выражение: $(x-y)(x^2 + xy + y^2) - 5x(x^2 + xy + y^2)$.
Общий множитель $(x^2 + xy + y^2)$ вынесем за скобки: $(x^2 + xy + y^2) \cdot ((x-y) - 5x)$.
Упростим выражение во второй скобке: $(x^2 + xy + y^2) \cdot (x - y - 5x) = (x^2 + xy + y^2)(-4x - y)$.
Вынесем знак минус из второй скобки: $-(x^2 + xy + y^2)(4x + y)$.

Ответ: $-(4x+y)(x^2+xy+y^2)$.

в) Исходное выражение: $2b^3 + a(a^2 - 3b^2)$.
Раскроем скобки и перепишем выражение: $2b^3 + a^3 - 3ab^2 = a^3 - 3ab^2 + 2b^3$.
Это кубический многочлен. Можно разложить его на множители методом группировки. Представим $2b^3$ как $-b^3+3b^3$ или $a^3$ как... Нет, лучше представим $-3ab^2$ как $-ab^2-2ab^2$.
$a^3 - ab^2 - 2ab^2 + 2b^3$.
Сгруппируем слагаемые: $(a^3 - ab^2) + (-2ab^2 + 2b^3)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $a(a^2 - b^2) - 2b^2(a-b)$.
Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $a(a-b)(a+b) - 2b^2(a-b)$.
Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки: $(a-b) \cdot (a(a+b) - 2b^2)$.
Раскроем скобки и упростим выражение во второй скобке: $(a-b) \cdot (a^2 + ab - 2b^2)$.
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $a^2 + ab - 2b^2$: $a^2 + 2ab - ab - 2b^2 = a(a+2b) - b(a+2b) = (a-b)(a+2b)$.
Подставим это в наше выражение: $(a-b)(a-b)(a+2b) = (a-b)^2(a+2b)$.

Ответ: $(a-b)^2(a+2b)$.

г) Исходное выражение: $p^3 - 2p^2 + 2p - 1$.
Сгруппируем слагаемые: $(p^3 - 1) + (-2p^2 + 2p)$.
Применим формулу разности кубов к первой группе и вынесем общий множитель из второй: $(p-1)(p^2 + p + 1) - 2p(p - 1)$.
Вынесем общий множитель $(p-1)$ за скобки: $(p-1) \cdot ((p^2 + p + 1) - 2p)$.
Упростим выражение во второй скобке: $(p-1)(p^2 + p - 2p + 1) = (p-1)(p^2 - p + 1)$.

Ответ: $(p-1)(p^2 - p + 1)$.

д) Исходное выражение: $8b^3 + 6b^2 + 3b + 1$.
Сгруппируем слагаемые: $(8b^3 + 1) + (6b^2 + 3b)$.
Первая группа это сумма кубов $(2b)^3 + 1^3$. Разложим ее по формуле: $(2b+1)( (2b)^2 - 2b \cdot 1 + 1^2) = (2b+1)(4b^2 - 2b + 1)$.
Во второй группе вынесем общий множитель $3b$: $3b(2b+1)$.
Теперь выражение выглядит так: $(2b+1)(4b^2 - 2b + 1) + 3b(2b+1)$.
Вынесем общий множитель $(2b+1)$: $(2b+1) \cdot ((4b^2 - 2b + 1) + 3b)$.
Упростим выражение во второй скобке: $(2b+1)(4b^2 - 2b + 3b + 1) = (2b+1)(4b^2 + b + 1)$.

Ответ: $(2b+1)(4b^2 + b + 1)$.

е) Исходное выражение: $a^3 - 4a^2 + 20a - 125$.
Сгруппируем слагаемые: $(a^3 - 125) + (-4a^2 + 20a)$.
Первая группа это разность кубов $a^3 - 5^3$. Разложим ее по формуле: $(a-5)(a^2 + 5a + 25)$.
Во второй группе вынесем общий множитель $-4a$: $-4a(a - 5)$.
Теперь выражение выглядит так: $(a-5)(a^2 + 5a + 25) - 4a(a-5)$.
Вынесем общий множитель $(a-5)$: $(a-5) \cdot ((a^2 + 5a + 25) - 4a)$.
Упростим выражение во второй скобке: $(a-5)(a^2 + 5a - 4a + 25) = (a-5)(a^2 + a + 25)$.

Ответ: $(a-5)(a^2 + a + 25)$.

1036. Представьте в виде произведения:
а) х³ + у³ + 2х² − 2ху + 2у²;
б) а³ − b³ + 3а² + 3аb + 3b²;
в) а⁴ + аb³ − а³b − b⁴;
г) х⁴ + х³у − ху³ − у⁴.

а) $x^3 + y^3 + 2x^2 - 2xy + 2y^2$

Сгруппируем слагаемые: $(x^3 + y^3) + (2x^2 - 2xy + 2y^2)$.

Разложим первую скобку по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$(x+y)(x^2-xy+y^2) + (2x^2 - 2xy + 2y^2)$

Во второй скобке вынесем общий множитель 2:

$(x+y)(x^2-xy+y^2) + 2(x^2 - xy + y^2)$

Теперь вынесем общий множитель $(x^2-xy+y^2)$ за скобки:

$(x^2-xy+y^2)(x+y+2)$

Ответ: $(x+y+2)(x^2-xy+y^2)$

б) $a^3 - b^3 + 3a^2 + 3ab + 3b^2$

Сгруппируем слагаемые: $(a^3 - b^3) + (3a^2 + 3ab + 3b^2)$.

Разложим первую скобку по формуле разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$(a-b)(a^2+ab+b^2) + (3a^2 + 3ab + 3b^2)$

Во второй скобке вынесем общий множитель 3:

$(a-b)(a^2+ab+b^2) + 3(a^2+ab+b^2)$

Теперь вынесем общий множитель $(a^2+ab+b^2)$ за скобки:

$(a^2+ab+b^2)(a-b+3)$

Ответ: $(a-b+3)(a^2+ab+b^2)$

в) $a^4 + ab^3 - a^3b - b^4$

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(a^4 - a^3b) + (ab^3 - b^4)$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a^3(a-b) + b^3(a-b)$

Теперь вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$(a-b)(a^3+b^3)$

Разложим второй множитель по формуле суммы кубов:

$(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Ответ: $(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)$

г) $x^4 + x^3y - xy^3 - y^4$

Сгруппируем слагаемые: $(x^4 + x^3y) - (xy^3 + y^4)$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^3(x+y) - y^3(x+y)$

Теперь вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки:

$(x+y)(x^3-y^3)$

Разложим второй множитель по формуле разности кубов:

$(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)$

Ответ: $(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)$

1037. Докажите, что многочлен принимает лишь неотрицательные значения:
а) х² − 2ху + у² + а²;
б) 4х² + а² − 4х + 1;
в) 9b² − 6b + 4c² + 1;
г) а² + 2аb + 2b² + 2b + 1;
д) х² − 4xy + y² + x²y² + 1;
e) х² + y² + 2х + 6y + 10.

а) Чтобы доказать, что многочлен $x^2 - 2xy + y^2 + a^2$ принимает лишь неотрицательные значения, преобразуем его, выделив полный квадрат. Первые три слагаемых $x^2 - 2xy + y^2$ представляют собой формулу квадрата разности: $(x-y)^2$. Таким образом, исходный многочлен можно переписать в виде: $x^2 - 2xy + y^2 + a^2 = (x-y)^2 + a^2$. Выражение $(x-y)^2$ является квадратом числа и, следовательно, всегда больше или равно нулю: $(x-y)^2 \ge 0$. Аналогично, $a^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательным числом. Следовательно, $(x-y)^2 + a^2 \ge 0$ при любых значениях переменных.
Ответ: Выражение представлено в виде суммы квадратов $(x-y)^2 + a^2$, поэтому оно всегда неотрицательно.

б) Рассмотрим многочлен $4x^2 + a^2 - 4x + 1$. Перегруппируем слагаемые для выделения полного квадрата: $(4x^2 - 4x + 1) + a^2$. Выражение в скобках $4x^2 - 4x + 1$ является полным квадратом разности, так как $4x^2 = (2x)^2$, $1 = 1^2$, а $-4x = -2 \cdot (2x) \cdot 1$. Таким образом, $4x^2 - 4x + 1 = (2x-1)^2$. Исходный многочлен можно представить в виде: $(2x-1)^2 + a^2$. Так как $(2x-1)^2 \ge 0$ и $a^2 \ge 0$ для любых значений $x$ и $a$, их сумма также неотрицательна.
Ответ: Выражение представлено в виде суммы квадратов $(2x-1)^2 + a^2$, поэтому оно всегда неотрицательно.

в) Рассмотрим многочлен $9b^2 - 6b + 4c^2 + 1$. Перегруппируем слагаемые: $(9b^2 - 6b + 1) + 4c^2$. Выражение в скобках $9b^2 - 6b + 1$ является полным квадратом разности: $(3b-1)^2$. Слагаемое $4c^2$ можно представить как квадрат выражения $2c$: $(2c)^2$. Тогда исходный многочлен можно записать в виде суммы квадратов: $(3b-1)^2 + (2c)^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, имеем $(3b-1)^2 \ge 0$ и $(2c)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных выражений всегда неотрицательна.
Ответ: Выражение представлено в виде суммы квадратов $(3b-1)^2 + (2c)^2$, поэтому оно всегда неотрицательно.

г) Рассмотрим многочлен $a^2 + 2ab + 2b^2 + 2b + 1$. Для выделения полных квадратов представим $2b^2$ как $b^2 + b^2$: $a^2 + 2ab + b^2 + b^2 + 2b + 1$. Теперь сгруппируем слагаемые: $(a^2 + 2ab + b^2) + (b^2 + 2b + 1)$. Каждая из групп является полным квадратом суммы: Первая группа: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$. Вторая группа: $b^2 + 2b + 1 = (b+1)^2$. Следовательно, исходное выражение равно сумме двух квадратов: $(a+b)^2 + (b+1)^2$. Сумма квадратов всегда неотрицательна, так как $(a+b)^2 \ge 0$ и $(b+1)^2 \ge 0$.
Ответ: Выражение представлено в виде суммы квадратов $(a+b)^2 + (b+1)^2$, поэтому оно всегда неотрицательно.

д) Рассмотрим многочлен $x^2 - 4xy + y^2 + x^2y^2 + 1$. Представим член $-4xy$ в виде суммы $-2xy - 2xy$ и перегруппируем слагаемые: $(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2y^2 - 2xy + 1)$. Заметим, что каждая из групп является полным квадратом: Первая группа: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$. Вторая группа: $x^2y^2 - 2xy + 1 = (xy)^2 - 2 \cdot (xy) \cdot 1 + 1^2 = (xy-1)^2$. Таким образом, многочлен можно представить как сумму двух квадратов: $(x-y)^2 + (xy-1)^2$. Сумма квадратов двух выражений всегда неотрицательна.
Ответ: Выражение представлено в виде суммы квадратов $(x-y)^2 + (xy-1)^2$, поэтому оно всегда неотрицательно.

е) Рассмотрим многочлен $x^2 + y^2 + 2x + 6y + 10$. Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и слагаемые, содержащие $y$: $(x^2 + 2x) + (y^2 + 6y) + 10$. Дополним каждую группу до полного квадрата. Для этого представим константу $10$ как $1+9$: $(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9)$. Теперь каждое выражение в скобках является полным квадратом суммы: Первая группа: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Вторая группа: $y^2 + 6y + 9 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 = (y+3)^2$. Следовательно, исходное выражение равно сумме двух квадратов: $(x+1)^2 + (y+3)^2$. Так как $(x+1)^2 \ge 0$ и $(y+3)^2 \ge 0$, их сумма всегда неотрицательна.
Ответ: Выражение представлено в виде суммы квадратов $(x+1)^2 + (y+3)^2$, поэтому оно всегда неотрицательно.

1038. Может ли выражение:
а) a² + 16a + 64 принимать отрицательные значения;
б) −b² − 25 + 10b принимать положительные значения;
в) −х² + 6х − 9 принимать неотрицательные значения;
г) (у + 10)² − 0,1 принимать отрицательные значения;
д) 0,001 − (а + 100)² принимать положительные значения?

а) Может ли выражение $a^2+16a+64$ принимать отрицательные значения;

Рассмотрим выражение $a^2 + 16a + 64$. Заметим, что это выражение является полным квадратом. Используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x=a$ и $y=8$, получаем: $a^2 + 2 \cdot a \cdot 8 + 8^2 = (a+8)^2$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(a+8)^2 \ge 0$ при любом значении $a$. Следовательно, данное выражение не может принимать отрицательные значения.

Ответ: нет, не может.

б) Может ли выражение $-b^2-25+10b$ принимать положительные значения;

Рассмотрим выражение $-b^2 - 25 + 10b$. Перегруппируем слагаемые и вынесем знак минус за скобки: $-b^2 + 10b - 25 = -(b^2 - 10b + 25)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности, согласно формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x=b$ и $y=5$. Таким образом, $b^2 - 10b + 25 = (b-5)^2$. Исходное выражение можно записать как $-(b-5)^2$. Поскольку $(b-5)^2 \ge 0$ для любого $b$, то $-(b-5)^2 \le 0$. Это означает, что выражение всегда неположительно, то есть не может принимать положительные значения.

Ответ: нет, не может.

в) Может ли выражение $-x^2+6x-9$ принимать неотрицательные значения;

Рассмотрим выражение $-x^2 + 6x - 9$. Вынесем минус за скобки: $-(x^2 - 6x + 9)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности $(x-3)^2$, так как $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$. Таким образом, исходное выражение равно $-(x-3)^2$. Мы знаем, что $(x-3)^2 \ge 0$, а значит $-(x-3)^2 \le 0$. Вопрос состоит в том, может ли выражение принимать неотрицательные значения (то есть значения $ \ge 0 $). Поскольку выражение всегда меньше или равно нулю, единственным неотрицательным значением, которое оно может принять, является 0. Это происходит при $x-3=0$, то есть при $x=3$. В этом случае значение выражения равно $-(3-3)^2 = 0$. Так как 0 — неотрицательное число, то выражение может принимать неотрицательные значения.

Ответ: да, может (значение 0 при $x=3$).

г) Может ли выражение $(y+10)^2-0,1$ принимать отрицательные значения;

Рассмотрим выражение $(y+10)^2 - 0,1$. Член $(y+10)^2$ является квадратом и, следовательно, всегда принимает неотрицательные значения: $(y+10)^2 \ge 0$. Чтобы проверить, может ли всё выражение быть отрицательным, найдем его наименьшее возможное значение. Наименьшее значение $(y+10)^2$ равно 0, и оно достигается при $y=-10$. Подставив это значение в выражение, получим: $(-10+10)^2 - 0,1 = 0^2 - 0,1 = -0,1$. Так как -0,1 является отрицательным числом, то выражение может принимать отрицательные значения.

Ответ: да, может (например, значение -0,1 при $y=-10$).

д) Может ли выражение $0,001-(a+100)^2$ принимать положительные значения?

Рассмотрим выражение $0,001 - (a+100)^2$. Чтобы проверить, может ли оно принимать положительные значения, нужно выяснить, может ли выполняться неравенство $0,001 - (a+100)^2 > 0$. Это неравенство эквивалентно $(a+100)^2 < 0,001$. Так как $(a+100)^2$ всегда неотрицательно, нам нужно лишь найти такое $a$, чтобы значение квадрата было меньше 0,001. Наибольшее значение выражения достигается, когда вычитаемое $(a+100)^2$ минимально. Минимальное значение $(a+100)^2$ равно 0 и достигается при $a=-100$. При этом значении $a$ всё выражение равно: $0,001 - (-100+100)^2 = 0,001 - 0 = 0,001$. Так как 0,001 — положительное число, выражение может принимать положительные значения.

Ответ: да, может (например, значение 0,001 при $a=-100$).

1039. Делится ли на 5 при любом целом n выражение:
а) (2n + 3)(3n − 7) − (n + 1)(n − 1);
б) (7n + 8)(n − 1) + (3n − 2)(n + 2)?

Чтобы определить, делится ли выражение на 5, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
Исходное выражение: $(2n + 3)(3n - 7) - (n + 1)(n - 1)$.
Раскроем произведение первых двух скобок:
$(2n + 3)(3n - 7) = 2n \cdot 3n + 2n \cdot (-7) + 3 \cdot 3n + 3 \cdot (-7) = 6n^2 - 14n + 9n - 21 = 6n^2 - 5n - 21$.
Произведение $(n + 1)(n - 1)$ является формулой разности квадратов:
$(n + 1)(n - 1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$.
Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:
$(6n^2 - 5n - 21) - (n^2 - 1) = 6n^2 - 5n - 21 - n^2 + 1$.
Приведем подобные слагаемые:
$(6n^2 - n^2) - 5n + (-21 + 1) = 5n^2 - 5n - 20$.
В полученном выражении $5n^2 - 5n - 20$ можно вынести общий множитель 5 за скобки:
$5(n^2 - n - 4)$.
Поскольку $n$ по условию является целым числом, то и выражение в скобках $(n^2 - n - 4)$ всегда будет целым числом. Если обозначить это целое число как $k$, то исходное выражение можно представить в виде $5k$. Любое число, являющееся произведением целого числа и 5, делится на 5 без остатка.
Следовательно, выражение делится на 5 при любом целом $n$.
Ответ: да, делится.

Упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
Исходное выражение: $(7n + 8)(n - 1) + (3n - 2)(n + 2)$.
Раскроем произведение первых двух скобок:
$(7n + 8)(n - 1) = 7n \cdot n + 7n \cdot (-1) + 8 \cdot n + 8 \cdot (-1) = 7n^2 - 7n + 8n - 8 = 7n^2 + n - 8$.
Раскроем произведение вторых двух скобок:
$(3n - 2)(n + 2) = 3n \cdot n + 3n \cdot 2 - 2 \cdot n - 2 \cdot 2 = 3n^2 + 6n - 2n - 4 = 3n^2 + 4n - 4$.
Теперь сложим полученные многочлены:
$(7n^2 + n - 8) + (3n^2 + 4n - 4) = 7n^2 + n - 8 + 3n^2 + 4n - 4$.
Приведем подобные слагаемые:
$(7n^2 + 3n^2) + (n + 4n) + (-8 - 4) = 10n^2 + 5n - 12$.
Проверим, делится ли полученное выражение $10n^2 + 5n - 12$ на 5.
Первые два слагаемых, $10n^2$ и $5n$, очевидно делятся на 5. Их сумму можно записать как $5(2n^2 + n)$.
Тогда все выражение можно представить в виде $5(2n^2 + n) - 12$.
При любом целом $n$ выражение $5(2n^2 + n)$ делится на 5. Однако, чтобы вся сумма делилась на 5, необходимо, чтобы и число -12 делилось на 5, что неверно. Таким образом, вся сумма не делится на 5.
Чтобы это доказать, достаточно привести один контрпример. Возьмем $n = 1$:
$10(1)^2 + 5(1) - 12 = 10 + 5 - 12 = 3$.
Число 3 не делится на 5. Следовательно, выражение не делится на 5 при любом целом $n$.
Ответ: нет, не делится.

1040. Докажите тождество (10n + 5)² = 100n(n + 1) + 25. Используя это тождество, сформулируйте правило возведения в квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5. Найдите по этому правилу 25², 45², 75², 115².

Докажите тождество $(10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = 10n$ и $b = 5$.

$(10n + 5)^2 = (10n)^2 + 2 \cdot 10n \cdot 5 + 5^2 = 100n^2 + 100n + 25$.

Теперь вынесем общий множитель $100n$ за скобки в первых двух слагаемых:

$100n^2 + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25$.

Таким образом, левая часть тождества после преобразований стала равна правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: $(10n + 5)^2 = 100n^2 + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25$. Тождество доказано.

Используя это тождество, сформулируйте правило возведения в квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5.

Любое натуральное число, которое оканчивается на 5, можно представить в виде $10n + 5$. Здесь $n$ — это число, которое получается, если у исходного числа отбросить последнюю цифру 5. Например, для числа 35 $n=3$, для числа 125 $n=12$.

Доказанное тождество $(10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25$ показывает, как вычислить квадрат такого числа. Правая часть $100n(n + 1) + 25$ состоит из двух частей: произведения $n(n+1)$, умноженного на 100, и числа 25. Умножение на 100 означает, что к числу $n(n+1)$ нужно приписать справа два нуля. Прибавление к такому числу 25 означает, что последние две цифры результата будут 25, а все цифры перед ними образуют число $n(n+1)$.

Ответ: Чтобы возвести в квадрат натуральное число, оканчивающееся на 5, нужно число, полученное после отбрасывания последней цифры 5, умножить на следующее за ним натуральное число, а затем к результату этого умножения приписать справа 25.

Найдите по этому правилу $25^2, 45^2, 75^2, 115^2$.

Применим сформулированное правило для каждого числа:

• Для $25^2$: число без последней пятерки — это $n=2$. Умножаем $2$ на следующее число ($3$): $2 \cdot 3 = 6$. Приписываем 25 и получаем 625.
• Для $45^2$: число без последней пятерки — это $n=4$. Умножаем $4$ на следующее число ($5$): $4 \cdot 5 = 20$. Приписываем 25 и получаем 2025.
• Для $75^2$: число без последней пятерки — это $n=7$. Умножаем $7$ на следующее число ($8$): $7 \cdot 8 = 56$. Приписываем 25 и получаем 5625.
• Для $115^2$: число без последней пятерки — это $n=11$. Умножаем $11$ на следующее число ($12$): $11 \cdot 12 = 132$. Приписываем 25 и получаем 13225.

Ответ: $25^2 = 625$; $45^2 = 2025$; $75^2 = 5625$; $115^2 = 13225$.