Страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

973. Напишите строки треугольника Паскаля для n = 6; n = 7.

Треугольник Паскаля — это арифметический треугольник, составленный из биномиальных коэффициентов. Каждая строка (обозначаемая как n, начиная с n=0) строится по простым правилам:

• Каждая строка начинается и заканчивается единицей.
• Каждый другой элемент в строке является суммой двух элементов, расположенных непосредственно над ним в предыдущей строке.

Для того чтобы найти строки для n=6 и n=7, необходимо последовательно построить все строки, начиная с n=0, до n=5.

Строка для n=0: 1

Строка для n=1: 1 1

Строка для n=2: 1 2 1

Строка для n=3: 1 3 3 1

Строка для n=4: 1 4 6 4 1

Строка для n=5: 1 5 10 10 5 1

Теперь, используя эти данные, мы можем вычислить требуемые строки.

n = 6

Мы используем строку для n=5 (1 5 10 10 5 1) для вычисления строки для n=6. Она будет состоять из $6+1=7$ чисел. Начинаем и заканчиваем единицей, а остальные числа получаем сложением соседних чисел из предыдущей строки.

Второе число: $1 + 5 = 6$.
Третье число: $5 + 10 = 15$.
Четвертое число: $10 + 10 = 20$.
Пятое число: $10 + 5 = 15$.
Шестое число: $5 + 1 = 6$.

Таким образом, строка для n=6 имеет вид: 1 6 15 20 15 6 1.

Ответ: 1 6 15 20 15 6 1.

n = 7

Теперь мы используем полученную строку для n=6 (1 6 15 20 15 6 1) для вычисления строки для n=7. Она будет состоять из $7+1=8$ чисел.

Второе число: $1 + 6 = 7$.
Третье число: $6 + 15 = 21$.
Четвертое число: $15 + 20 = 35$.
Пятое число: $20 + 15 = 35$.
Шестое число: $15 + 6 = 21$.
Седьмое число: $6 + 1 = 7$.

Таким образом, строка для n=7 имеет вид: 1 7 21 35 35 21 7 1.

Ответ: 1 7 21 35 35 21 7 1.

974. Используя треугольник Паскаля, напишите формулу для шестой степени двучлена а + b. Проверьте результат, умножив на а + b многочлен, равный (а + b)⁵.

Используя треугольник Паскаля, напишите формулу для шестой степени двучлена a + b.
Треугольник Паскаля — это бесконечная треугольная таблица биномиальных коэффициентов. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух чисел, стоящих над ним. Строки треугольника нумеруются с нуля. Для нахождения коэффициентов разложения двучлена $(a+b)^n$ нужно взять числа из строки с номером $n$.
Построим треугольник Паскаля до строки с номером 6:
$n=0$: 1
$n=1$: 1 1
$n=2$: 1 2 1
$n=3$: 1 3 3 1
$n=4$: 1 4 6 4 1
$n=5$: 1 5 10 10 5 1
$n=6$: 1 6 15 20 15 6 1
Коэффициенты для разложения $(a+b)^6$ находятся в 6-й строке: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
Формула разложения (бином Ньютона) использует эти коэффициенты. При этом степени переменной $a$ убывают от $n$ до 0, а степени переменной $b$ возрастают от 0 до $n$.
Для $n=6$ получаем:
$(a+b)^6 = 1 \cdot a^6b^0 + 6 \cdot a^5b^1 + 15 \cdot a^4b^2 + 20 \cdot a^3b^3 + 15 \cdot a^2b^4 + 6 \cdot a^1b^5 + 1 \cdot a^0b^6$
После упрощения:
$(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$
Ответ: $(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$.

Проверьте результат, умножив на a + b многочлен, равный $(a+b)^5$.
Сначала запишем разложение для $(a+b)^5$, используя коэффициенты из 5-й строки треугольника Паскаля (1, 5, 10, 10, 5, 1):
$(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$
Теперь умножим этот многочлен на $(a+b)$, чтобы получить $(a+b)^6$:
$(a+b)^6 = (a+b) \cdot (a+b)^5 = (a+b) \cdot (a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5)$
Раскроем скобки, умножив многочлен сначала на $a$, а затем на $b$:
$a \cdot (a^5 + 5a^4b + \dots) = a^6 + 5a^5b + 10a^4b^2 + 10a^3b^3 + 5a^2b^4 + ab^5$
$b \cdot (a^5 + 5a^4b + \dots) = a^5b + 5a^4b^2 + 10a^3b^3 + 10a^2b^4 + 5ab^5 + b^6$
Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:
$(a^6 + 5a^5b + 10a^4b^2 + 10a^3b^3 + 5a^2b^4 + ab^5) + (a^5b + 5a^4b^2 + 10a^3b^3 + 10a^2b^4 + 5ab^5 + b^6) =$
$= a^6 + (5a^5b + a^5b) + (10a^4b^2 + 5a^4b^2) + (10a^3b^3 + 10a^3b^3) + (5a^2b^4 + 10a^2b^4) + (ab^5 + 5ab^5) + b^6 =$
$= a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$
Полученный результат полностью совпадает с формулой, выведенной с помощью треугольника Паскаля.
Ответ: Результат умножения $(a+b)(a+b)^5$ равен $a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$, что подтверждает правильность формулы для шестой степени двучлена.

975. Напишите формулу:
а) седьмой степени двучлена;
б) восьмой степени двучлена.

а) седьмой степени двучлена

Для написания формулы седьмой степени двучлена $(a+b)^7$ используется формула бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

При $n=7$ эта формула раскрывается следующим образом:

$(a+b)^7 = C_7^0 a^7 + C_7^1 a^6 b + C_7^2 a^5 b^2 + C_7^3 a^4 b^3 + C_7^4 a^3 b^4 + C_7^5 a^2 b^5 + C_7^6 a b^6 + C_7^7 b^7$

Коэффициенты $C_n^k$ (биномиальные коэффициенты) вычисляются по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ или берутся из треугольника Паскаля. Для $n=7$ коэффициенты следующие:

$C_7^0 = 1$

$C_7^1 = \frac{7!}{1!(7-1)!} = \frac{7!}{1!6!} = 7$

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

В силу свойства симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$, остальные коэффициенты равны уже найденным:

$C_7^4 = C_7^3 = 35$

$C_7^5 = C_7^2 = 21$

$C_7^6 = C_7^1 = 7$

$C_7^7 = C_7^0 = 1$

Подставляя эти значения в разложение, получаем итоговую формулу:

Ответ: $(a+b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$.

б) восьмой степени двучлена

Аналогично, для двучлена в восьмой степени $(a+b)^8$ используем формулу бинома Ньютона при $n=8$:

$(a+b)^8 = C_8^0 a^8 + C_8^1 a^7 b + C_8^2 a^6 b^2 + C_8^3 a^5 b^3 + C_8^4 a^4 b^4 + C_8^5 a^3 b^5 + C_8^6 a^2 b^6 + C_8^7 a b^7 + C_8^8 b^8$

Вычисляем биномиальные коэффициенты для $n=8$:

$C_8^0 = 1$

$C_8^1 = \frac{8!}{1!7!} = 8$

$C_8^2 = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$

$C_8^3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$

$C_8^4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$

Используя свойство симметрии, находим остальные коэффициенты:

$C_8^5 = C_8^3 = 56$

$C_8^6 = C_8^2 = 28$

$C_8^7 = C_8^1 = 8$

$C_8^8 = C_8^0 = 1$

Подставив значения коэффициентов, получаем формулу для восьмой степени двучлена:

Ответ: $(a+b)^8 = a^8 + 8a^7b + 28a^6b^2 + 56a^5b^3 + 70a^4b^4 + 56a^3b^5 + 28a^2b^6 + 8ab^7 + b^8$.

976. Используя формулу четвёртой степени двучлена, преобразуйте выражение:
а) (а² + 2b)⁴; б) (а³ − b)⁴.

Для решения задачи используется формула бинома Ньютона для четвёртой степени. Коэффициенты для степени $n=4$ можно найти из треугольника Паскаля: 1, 4, 6, 4, 1.

Формула для суммы двучлена в четвёртой степени:
$(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$

Формула для разности двучлена в четвёртой степени:
$(x-y)^4 = x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4$

а) Преобразуем выражение $(a^2 + 2b)^4$.
Здесь в качестве $x$ выступает $a^2$, а в качестве $y$ выступает $2b$. Применим формулу для суммы двучлена в четвёртой степени:
$(a^2 + 2b)^4 = (a^2)^4 + 4(a^2)^3(2b) + 6(a^2)^2(2b)^2 + 4(a^2)(2b)^3 + (2b)^4$
Теперь упростим каждое слагаемое:
$(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$
$4(a^2)^3(2b) = 4a^6 \cdot 2b = 8a^6b$
$6(a^2)^2(2b)^2 = 6a^4 \cdot 4b^2 = 24a^4b^2$
$4(a^2)(2b)^3 = 4a^2 \cdot 8b^3 = 32a^2b^3$
$(2b)^4 = 2^4 \cdot b^4 = 16b^4$
Собрав все слагаемые вместе, получаем:
$a^8 + 8a^6b + 24a^4b^2 + 32a^2b^3 + 16b^4$
Ответ: $a^8 + 8a^6b + 24a^4b^2 + 32a^2b^3 + 16b^4$

б) Преобразуем выражение $(a^3 - b)^4$.
Здесь в качестве $x$ выступает $a^3$, а в качестве $y$ выступает $b$. Применим формулу для разности двучлена в четвёртой степени:
$(a^3 - b)^4 = (a^3)^4 - 4(a^3)^3(b) + 6(a^3)^2(b)^2 - 4(a^3)(b)^3 + (b)^4$
Теперь упростим каждое слагаемое:
$(a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12}$
$4(a^3)^3(b) = 4a^9b$
$6(a^3)^2(b)^2 = 6a^6b^2$
$4(a^3)(b)^3 = 4a^3b^3$
$(b)^4 = b^4$
Собрав все слагаемые вместе с учетом знаков, получаем:
$a^{12} - 4a^9b + 6a^6b^2 - 4a^3b^3 + b^4$
Ответ: $a^{12} - 4a^9b + 6a^6b^2 - 4a^3b^3 + b^4$