Страница 190 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

951. Разложите на множители многочлен:

а) $5x^2 - 5y^2$

Для разложения этого многочлена на множители сначала вынесем общий числовой множитель 5 за скобки:

$5x^2 - 5y^2 = 5(x^2 - y^2)$

Теперь выражение в скобках, $x^2 - y^2$, представляет собой разность квадратов. Мы можем применить формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x$ и $b = y$.

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Подставив это разложение обратно, получаем окончательный результат:

$5(x - y)(x + y)$

Ответ: $5(x - y)(x + y)$

б) $am^2 - an^2$

В этом выражении общим множителем является переменная $a$. Вынесем ее за скобки:

$am^2 - an^2 = a(m^2 - n^2)$

Выражение в скобках $m^2 - n^2$ также является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = m$ и $b = n$.

$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$

Таким образом, полное разложение многочлена на множители имеет вид:

$a(m - n)(m + n)$

Ответ: $a(m - n)(m + n)$

в) $2ax^2 - 2ay^2$

Здесь общий множитель для обоих членов — это $2a$. Вынесем его за скобки:

$2ax^2 - 2ay^2 = 2a(x^2 - y^2)$

Снова используем формулу разности квадратов для выражения $x^2 - y^2$:

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Окончательный результат разложения:

$2a(x - y)(x + y)$

Ответ: $2a(x - y)(x + y)$

г) $9p^2 - 9$

Общий числовой множитель здесь равен 9. Выносим его за скобки:

$9p^2 - 9 = 9(p^2 - 1)$

Выражение $p^2 - 1$ является разностью квадратов, поскольку $1$ можно представить как $1^2$. Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = p$ и $b = 1$.

$p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)$

Следовательно, разложение на множители:

$9(p - 1)(p + 1)$

Ответ: $9(p - 1)(p + 1)$

д) $16x^2 - 4$

Общий множитель для $16x^2$ и $4$ — это 4. Вынесем его за скобки:

$16x^2 - 4 = 4(4x^2 - 1)$

Выражение в скобках $4x^2 - 1$ является разностью квадратов. Здесь $4x^2$ — это квадрат выражения $2x$ (т.е. $(2x)^2$), а 1 — это квадрат 1 (т.е. $1^2$). Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 2x$ и $b = 1$.

$4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$

Полное разложение выглядит так:

$4(2x - 1)(2x + 1)$

Ответ: $4(2x - 1)(2x + 1)$

е) $75 - 27c^2$

Найдем наибольший общий делитель для чисел 75 и 27. Это 3, так как $75 = 3 \cdot 25$ и $27 = 3 \cdot 9$. Вынесем 3 за скобки:

$75 - 27c^2 = 3(25 - 9c^2)$

Выражение в скобках $25 - 9c^2$ — это разность квадратов. $25$ — это $5^2$, а $9c^2$ — это $(3c)^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 5$ и $b = 3c$.

$25 - 9c^2 = (5 - 3c)(5 + 3c)$

В результате получаем разложение:

$3(5 - 3c)(5 + 3c)$

Ответ: $3(5 - 3c)(5 + 3c)$

951. Представьте в виде произведения:

а) $y^3 - y^5$

Для того чтобы представить выражение в виде произведения, сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для $y^3$ и $y^5$ является $y$ в наименьшей степени, то есть $y^3$.

$y^3 - y^5 = y^3(1 - y^2)$

Выражение в скобках, $1 - y^2$, является разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 1$ и $b = y$.

$1 - y^2 = 1^2 - y^2 = (1 - y)(1 + y)$

Подставим полученное произведение обратно в исходное выражение:

$y^3(1 - y^2) = y^3(1 - y)(1 + y)$

Ответ: $y^3(1 - y)(1 + y)$

б) $2x - 2x^3$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки.

$2x - 2x^3 = 2x(1 - x^2)$

Выражение в скобках, $1 - x^2$, представляет собой разность квадратов. Используем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 1$ и $b = x$.

$1 - x^2 = 1^2 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$2x(1 - x^2) = 2x(1 - x)(1 + x)$

Ответ: $2x(1 - x)(1 + x)$

в) $81x^2 - x^4$

Найдем общий множитель. Для $81x^2$ и $x^4$ общим множителем является $x^2$.

$81x^2 - x^4 = x^2(81 - x^2)$

Выражение в скобках, $81 - x^2$, является разностью квадратов, так как $81 = 9^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 9$ и $b = x$.

$81 - x^2 = 9^2 - x^2 = (9 - x)(9 + x)$

Подставим это в наше выражение:

$x^2(81 - x^2) = x^2(9 - x)(9 + x)$

Ответ: $x^2(9 - x)(9 + x)$

г) $4y^3 - 100y^5$

Вынесем общий множитель за скобки. Общий делитель для коэффициентов 4 и 100 равен 4. Общий множитель для переменных $y^3$ и $y^5$ равен $y^3$. Таким образом, общий множитель всего выражения — $4y^3$.

$4y^3 - 100y^5 = 4y^3(1 - 25y^2)$

Выражение в скобках, $1 - 25y^2$, является разностью квадратов, так как $1 = 1^2$ и $25y^2 = (5y)^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 1$ и $b = 5y$.

$1 - 25y^2 = 1^2 - (5y)^2 = (1 - 5y)(1 + 5y)$

Запишем окончательный результат:

$4y^3(1 - 25y^2) = 4y^3(1 - 5y)(1 + 5y)$

Ответ: $4y^3(1 - 5y)(1 + 5y)$

952. Выполните разложение на множители:

а) Чтобы разложить на множители выражение $mx^2 - 49m$, первым шагом вынесем общий множитель $m$ за скобки.
$mx^2 - 49m = m(x^2 - 49)$.
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $x^2 - 49$. Это разность квадратов, так как $x^2$ является квадратом $x$, а $49$ является квадратом $7$.
Применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$.
Подставив это обратно в наше выражение, получаем окончательный результат.
Ответ: $m(x-7)(x+7)$.

б) Для разложения выражения $ab^2 - 4ac^2$ на множители, сначала найдем и вынесем общий множитель. Общим множителем для обоих членов является $a$.
$ab^2 - 4ac^2 = a(b^2 - 4c^2)$.
Выражение в скобках, $b^2 - 4c^2$, является разностью квадратов. Здесь $b^2$ — это квадрат $b$, а $4c^2$ — это квадрат $2c$, то есть $(2c)^2$.
Используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:
$b^2 - (2c)^2 = (b - 2c)(b + 2c)$.
Таким образом, полное разложение на множители выглядит так.
Ответ: $a(b-2c)(b+2c)$.

в) В выражении $4b^3 - b$ вынесем за скобки общий множитель $b$.
$4b^3 - b = b(4b^2 - 1)$.
Выражение в скобках, $4b^2 - 1$, представляет собой разность квадратов. $4b^2$ — это квадрат $2b$, то есть $(2b)^2$, а $1$ — это квадрат $1$.
Применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:
$(2b)^2 - 1^2 = (2b - 1)(2b + 1)$.
Итак, мы получаем окончательное разложение.
Ответ: $b(2b-1)(2b+1)$.

г) В выражении $a^3 - ac^2$ вынесем общий множитель $a$ за скобки.
$a^3 - ac^2 = a(a^2 - c^2)$.
Выражение в скобках, $a^2 - c^2$, является разностью квадратов.
Используя формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, получаем:
$a^2 - c^2 = (a - c)(a + c)$.
Подставляем это в наше выражение и получаем окончательный ответ.
Ответ: $a(a-c)(a+c)$.

953. Докажите тождество а⁸ − b⁸ = (а − b)(а + b)(а² + b²)(а⁴ + b⁴).

Для доказательства тождества необходимо показать, что его левая и правая части равны. Мы можем сделать это, преобразовав правую часть выражения и сведя ее к левой. Для этого будем последовательно применять формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

Правая часть тождества имеет вид: $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)$.

1. Начнем с умножения первых двух скобок:

$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$

Теперь выражение принимает вид:

$(a^2-b^2)(a^2+b^2)(a^4+b^4)$

2. Теперь умножим первые две скобки получившегося выражения. Снова используем формулу разности квадратов, где в качестве $x$ выступает $a^2$, а в качестве $y$ — $b^2$:

$(a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4-b^4$

Выражение принимает вид:

$(a^4-b^4)(a^4+b^4)$

3. На последнем шаге применим ту же формулу к оставшемуся выражению, где $x=a^4$ и $y=b^4$:

$(a^4-b^4)(a^4+b^4) = (a^4)^2 - (b^4)^2 = a^8-b^8$

В результате преобразований мы получили, что правая часть тождества равна $a^8-b^8$, что в точности совпадает с его левой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказывается путем последовательного применения формулы разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$ к правой части выражения. Сначала $(a-b)(a+b)$ сворачивается в $a^2-b^2$. Затем, произведение $(a^2-b^2)(a^2+b^2)$ равно $a^4-b^4$. Наконец, произведение $(a^4-b^4)(a^4+b^4)$ равно $a^8-b^8$, что и является левой частью тождества. Что и требовалось доказать.

954. Разложите на множители:
а) р⁴ − 16; б) х⁴ − 81; в) у⁸ − 1; г) a⁴ − b⁸.

а) $p^4 - 16$

Для разложения на множители используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим $p^4$ как $(p^2)^2$ и $16$ как $4^2$.
$p^4 - 16 = (p^2)^2 - 4^2 = (p^2 - 4)(p^2 + 4)$.
Теперь множитель $(p^2 - 4)$ можно снова разложить по той же формуле, представив его как $p^2 - 2^2$.
$p^2 - 4 = (p - 2)(p + 2)$.
Множитель $(p^2 + 4)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Объединив результаты, получаем:
$p^4 - 16 = (p - 2)(p + 2)(p^2 + 4)$.
Ответ: $(p - 2)(p + 2)(p^2 + 4)$.

б) $x^4 - 81$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим $x^4$ как $(x^2)^2$ и $81$ как $9^2$.
$x^4 - 81 = (x^2)^2 - 9^2 = (x^2 - 9)(x^2 + 9)$.
Множитель $(x^2 - 9)$ также является разностью квадратов: $x^2 - 3^2$.
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Множитель $(x^2 + 9)$ является суммой квадратов и не раскладывается дальше.
Следовательно, итоговое разложение:
$x^4 - 81 = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)$.
Ответ: $(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)$.

в) $y^8 - 1$

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ последовательно.
Сначала представим $y^8$ как $(y^4)^2$ и $1$ как $1^2$.
$y^8 - 1 = (y^4)^2 - 1^2 = (y^4 - 1)(y^4 + 1)$.
Теперь разложим множитель $(y^4 - 1)$, представив его как $(y^2)^2 - 1^2$.
$y^4 - 1 = (y^2 - 1)(y^2 + 1)$.
Далее, разложим множитель $(y^2 - 1)$ как $y^2 - 1^2$.
$y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$.
Множители $(y^2 + 1)$ и $(y^4 + 1)$ являются суммами квадратов и не раскладываются.
Собираем все множители:
$y^8 - 1 = (y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)$.
Ответ: $(y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)$.

г) $a^4 - b^8$

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим $a^4$ как $(a^2)^2$ и $b^8$ как $(b^4)^2$.
$a^4 - b^8 = (a^2)^2 - (b^4)^2 = (a^2 - b^4)(a^2 + b^4)$.
Множитель $(a^2 - b^4)$ можно снова разложить по той же формуле, представив его как $a^2 - (b^2)^2$.
$a^2 - b^4 = (a - b^2)(a + b^2)$.
Множитель $(a^2 + b^4)$ не раскладывается.
Итоговое разложение:
$a^4 - b^8 = (a - b^2)(a + b^2)(a^2 + b^4)$.
Ответ: $(a - b^2)(a + b^2)(a^2 + b^4)$.

955. Разложите на множители:

а) 3х² + 6ху + 3у²;
б) −m² + 2m − 1;
в) −4х − 4 − х²;
г) 6p² + 24q² + 24pq;
д) 45x + 30aх + 5a²х;
е) 18сх² − 24сх + 8с.

а) $3x^2 + 6xy + 3y^2$
Для разложения на множители сначала вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3(x^2 + 2xy + y^2)$
Выражение в скобках представляет собой формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a=x$ и $b=y$.
Таким образом, получаем:
$3(x+y)^2$
Ответ: $3(x+y)^2$

б) $-m^2 + 2m - 1$
Вынесем -1 за скобки, чтобы получить более удобное для факторизации выражение:
$-(m^2 - 2m + 1)$
Выражение в скобках является формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=m$ и $b=1$.
Следовательно, выражение равно:
$-(m-1)^2$
Ответ: $-(m-1)^2$

в) $-4x - 4 - x^2$
Сначала изменим порядок слагаемых для наглядности и вынесем -1 за скобки:
$-(x^2 + 4x + 4)$
Выражение в скобках — это квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=2$.
Получаем:
$-(x+2)^2$
Ответ: $-(x+2)^2$

г) $6p^2 + 24q^2 + 24pq$
Переставим слагаемые и вынесем общий множитель 6 за скобки:
$6(p^2 + 4pq + 4q^2)$
Выражение в скобках соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=p$ и $b=2q$. Проверим: $a^2 = p^2$, $b^2 = (2q)^2 = 4q^2$, $2ab = 2 \cdot p \cdot 2q = 4pq$.
Таким образом:
$6(p+2q)^2$
Ответ: $6(p+2q)^2$

д) $45x + 30ax + 5a^2x$
Вынесем общий множитель $5x$ за скобки:
$5x(9 + 6a + a^2)$
Изменим порядок слагаемых в скобках: $5x(a^2 + 6a + 9)$.
Выражение в скобках является квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=a$ и $b=3$.
Получаем:
$5x(a+3)^2$
Ответ: $5x(a+3)^2$

е) $18cx^2 - 24cx + 8c$
Вынесем общий множитель $2c$ за скобки:
$2c(9x^2 - 12x + 4)$
Выражение в скобках является квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=3x$ и $b=2$. Проверим: $a^2 = (3x)^2 = 9x^2$, $b^2 = 2^2 = 4$, $2ab = 2 \cdot 3x \cdot 2 = 12x$.
Следовательно:
$2c(3x-2)^2$
Ответ: $2c(3x-2)^2$

956. Разложите на множители выражение х⁶ − у⁵, представив его в виде: а) разности квадратов; б) разности кубов.

а) Чтобы разложить выражение $x^6 - y^6$ как разность квадратов, представим его в виде $(x^3)^2 - (y^3)^2$.

Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = x^3$ и $b = y^3$.

Подставляем в формулу:

$(x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$

Теперь у нас есть два множителя: разность кубов ($x^3 - y^3$) и сумма кубов ($x^3 + y^3$). Разложим каждый из них по соответствующим формулам:

Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

Собираем все множители вместе:

$x^6 - y^6 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)(x + y)(x^2 - xy + y^2)$

Для удобства можно сгруппировать множители:

$x^6 - y^6 = (x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

Ответ: $(x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

б) Чтобы разложить выражение $x^6 - y^6$ как разность кубов, представим его в виде $(x^2)^3 - (y^2)^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В нашем случае $a = x^2$ и $b = y^2$.

Подставляем в формулу:

$(x^2)^3 - (y^2)^3 = (x^2 - y^2)((x^2)^2 + x^2y^2 + (y^2)^2) = (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

Теперь разложим на множители каждый из полученных сомножителей.

Первый множитель $x^2 - y^2$ — это разность квадратов:

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Второй множитель $x^4 + x^2y^2 + y^4$ разложим, дополнив его до полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем $x^2y^2$:

$x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - (xy)^2$

Теперь мы получили разность квадратов, которую раскладываем по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(x^2 + y^2)^2 - (xy)^2 = ((x^2 + y^2) - xy)((x^2 + y^2) + xy) = (x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

Собираем все полученные множители вместе:

$x^6 - y^6 = (x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

Ответ: $(x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

957. Выполните разложение на множители:

а) Для разложения на множители выражения $2m^2 - 4m + 2$ первым шагом вынесем общий числовой множитель 2 за скобки:
$2m^2 - 4m + 2 = 2(m^2 - 2m + 1)$.
Выражение в скобках $m^2 - 2m + 1$ является полным квадратом разности, который соответствует формуле сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a = m$ и $b = 1$. Проверим: $m^2 - 2 \cdot m \cdot 1 + 1^2 = (m - 1)^2$.
Следовательно, окончательное разложение имеет вид: $2(m - 1)^2$.
Ответ: $2(m-1)^2$

б) Рассмотрим выражение $36 + 24x + 4x^2$. Для удобства расположим слагаемые по убыванию степеней переменной $x$: $4x^2 + 24x + 36$.
Вынесем общий множитель 4 за скобки:
$4(x^2 + 6x + 9)$.
Выражение в скобках $x^2 + 6x + 9$ представляет собой полный квадрат суммы. Применим формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = x$ и $b = 3$. Проверим: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x + 3)^2$.
Таким образом, итоговое разложение: $4(x + 3)^2$.
Ответ: $4(x+3)^2$

в) Для разложения выражения $8a^3 - 8b^3$ сначала вынесем общий множитель 8 за скобки:
$8a^3 - 8b^3 = 8(a^3 - b^3)$.
Выражение в скобках $a^3 - b^3$ представляет собой разность кубов. Используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.
Применив формулу к нашему выражению ($x=a$, $y=b$), получаем:
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Следовательно, полное разложение на множители: $8(a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Ответ: $8(a-b)(a^2+ab+b^2)$

г) Разложим на множители выражение $9ax^3 + 9ay^3$. Общим множителем для обоих членов является $9a$. Вынесем его за скобки:
$9ax^3 + 9ay^3 = 9a(x^3 + y^3)$.
Выражение в скобках $x^3 + y^3$ является суммой кубов. Применим соответствующую формулу: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
Таким образом, окончательный вид разложения: $9a(x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Ответ: $9a(x+y)(x^2-xy+y^2)$

958. Разложите на множители:

а) $4xy+12y-4x-12$

Для разложения на множители многочлена $4xy+12y-4x-12$ применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(4xy+12y) + (-4x-12)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $4y$, во второй — $-4$.

$4y(x+3) - 4(x+3)$

Теперь мы видим общий множитель $(x+3)$, который также можно вынести за скобки:

$(4y-4)(x+3)$

В первом множителе $(4y-4)$ можно вынести за скобки общий множитель 4:

$4(y-1)(x+3)$

Ответ: $4(y-1)(x+3)$.

б) $60+6ab-30b-12a$

Перегруппируем слагаемые для удобства, чтобы члены с общими переменными стояли рядом. Например, так:

$6ab-12a-30b+60$

Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(6ab-12a) + (-30b+60)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $6a$, во второй — $-30$.

$6a(b-2) - 30(b-2)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(b-2)$:

$(6a-30)(b-2)$

В первом множителе $(6a-30)$ можно вынести за скобки общий множитель 6:

$6(a-5)(b-2)$

Ответ: $6(a-5)(b-2)$.

в) $-abc-5ac-4ab-20a$

Заметим, что у всех членов многочлена есть общий множитель $-a$. Вынесем его за скобки:

$-a(bc+5c+4b+20)$

Теперь разложим на множители выражение в скобках, используя метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$-a((bc+5c) + (4b+20))$

Вынесем общие множители из каждой группы в скобках. В первой группе это $c$, во второй — $4$.

$-a(c(b+5) + 4(b+5))$

Теперь вынесем общий множитель $(b+5)$:

$-a((c+4)(b+5))$

Уберем лишние скобки и получим окончательный вид.

Ответ: $-a(c+4)(b+5)$.

г) $a^3+a^2b+a^2+ab$

Заметим, что у всех членов многочлена есть общий множитель $a$. Вынесем его за скобки:

$a(a^2+ab+a+b)$

Теперь разложим на множители выражение в скобках, используя метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$a((a^2+ab) + (a+b))$

Вынесем общие множители из каждой группы в скобках. В первой группе это $a$, во второй группе общий множитель 1.

$a(a(a+b) + 1(a+b))$

Теперь вынесем общий множитель $(a+b)$:

$a((a+1)(a+b))$

Уберем лишние скобки.

Ответ: $a(a+1)(a+b)$.

959. Представьте в виде произведения:

а) Чтобы представить выражение $45b + 6a - 3ab - 90$ в виде произведения, сгруппируем его члены. Удобно сгруппировать первый член с четвертым, а второй с третьим:

$(45b - 90) + (6a - 3ab)$

Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$45(b - 2) + 3a(2 - b)$

Чтобы получить общий множитель в скобках, изменим знак во второй группе, вынеся $-1$:

$45(b - 2) - 3a(b - 2)$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(b - 2)$ за скобки:

$(b - 2)(45 - 3a)$

В выражении $(45 - 3a)$ можно вынести за скобки общий множитель 3:

$3(15 - a)$

Таким образом, окончательное выражение имеет вид:

$3(b - 2)(15 - a)$

Ответ: $3(b - 2)(15 - a)$

б) Чтобы представить выражение $-5xy - 40y - 15x - 120$ в виде произведения, сгруппируем его члены. Сгруппируем первый член со вторым, а третий с четвертым:

$(-5xy - 40y) + (-15x - 120)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$-5y(x + 8) - 15(x + 8)$

Теперь мы видим общий множитель $(x + 8)$, который можно вынести за скобки:

$(x + 8)(-5y - 15)$

В выражении $(-5y - 15)$ можно вынести за скобки общий множитель -5:

$-5(y + 3)$

Таким образом, окончательное выражение имеет вид:

$(x + 8)(-5)(y + 3) = -5(x + 8)(y + 3)$

Ответ: $-5(x + 8)(y + 3)$

в) Чтобы представить выражение $ac^4 - c^4 + ac^3 - c^3$ в виде произведения, сгруппируем его члены. Сгруппируем первый член со вторым, а третий с четвертым:

$(ac^4 - c^4) + (ac^3 - c^3)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$c^4(a - 1) + c^3(a - 1)$

Теперь мы видим общий множитель $(a - 1)$, который можно вынести за скобки:

$(a - 1)(c^4 + c^3)$

В выражении $(c^4 + c^3)$ можно вынести за скобки общий множитель $c^3$:

$c^3(c + 1)$

Таким образом, окончательное выражение имеет вид:

$(a - 1)c^3(c + 1) = c^3(a - 1)(c + 1)$

Ответ: $c^3(a - 1)(c + 1)$

г) Чтобы представить выражение $x^3 - x^2y + x^2 - xy$ в виде произведения, сгруппируем его члены. Сгруппируем первый член со вторым, а третий с четвертым:

$(x^3 - x^2y) + (x^2 - xy)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$x^2(x - y) + x(x - y)$

Теперь мы видим общий множитель $(x - y)$, который можно вынести за скобки:

$(x - y)(x^2 + x)$

В выражении $(x^2 + x)$ можно вынести за скобки общий множитель $x$:

$x(x + 1)$

Таким образом, окончательное выражение имеет вид:

$x(x - y)(x + 1)$

Ответ: $x(x + 1)(x - y)$

960. Выполните разложение на множители:

а) $x^2 - 2xc + c^2 - d^2$

Сгруппируем первые три слагаемых: $(x^2 - 2xc + c^2) - d^2$. Выражение в скобках является полным квадратом разности, так как соответствует формуле сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=c$, поэтому $x^2 - 2xc + c^2 = (x-c)^2$.

Подставив это в исходное выражение, получим $(x-c)^2 - d^2$.

Теперь мы имеем разность квадратов, которую можно разложить по формуле $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$. Здесь $A = (x-c)$ и $B = d$.

Применяя формулу, получаем: $((x-c) - d)((x-c) + d)$.

Раскрыв внутренние скобки, окончательно имеем: $(x - c - d)(x - c + d)$.

Ответ: $(x - c - d)(x - c + d)$

б) $c^2 + 2c + 1 - a^2$

Сгруппируем первые три слагаемых: $(c^2 + 2c + 1) - a^2$. Выражение в скобках — это полный квадрат суммы, который соответствует формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=c$ и $b=1$, поэтому $c^2 + 2c + 1 = (c+1)^2$.

Выражение преобразуется к виду $(c+1)^2 - a^2$.

Это разность квадратов $A^2 - B^2$, где $A = (c+1)$ и $B = a$. Применим формулу разложения на множители $(A-B)(A+B)$.

Получаем: $((c+1) - a)((c+1) + a)$.

Раскрыв внутренние скобки, получим: $(c - a + 1)(c + a + 1)$.

Ответ: $(c - a + 1)(c + a + 1)$

в) $p^2 - x^2 + 6x - 9$

Сгруппируем последние три слагаемых, вынеся за скобки знак минус: $p^2 - (x^2 - 6x + 9)$.

Выражение в скобках $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=3$. Таким образом, $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.

Исходное выражение принимает вид $p^2 - (x-3)^2$.

Это разность квадратов $A^2 - B^2$, где $A = p$ и $B = (x-3)$.

Раскладываем по формуле $(A-B)(A+B)$: $(p - (x-3))(p + (x-3))$.

Раскрывая внутренние скобки и учитывая знаки, получаем: $(p - x + 3)(p + x - 3)$.

Ответ: $(p - x + 3)(p + x - 3)$

г) $x^2 - a^2 - 10a - 25$

Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $a$, и вынесем знак минус за скобки: $x^2 - (a^2 + 10a + 25)$.

Выражение в скобках $a^2 + 10a + 25$ — это полный квадрат суммы по формуле $(c+d)^2 = c^2 + 2cd + d^2$, где $c=a$ и $d=5$. Следовательно, $a^2 + 10a + 25 = (a+5)^2$.

Выражение преобразуется к виду $x^2 - (a+5)^2$.

Применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = x$ и $B = (a+5)$.

Получаем: $(x - (a+5))(x + (a+5))$.

Раскрывая внутренние скобки, имеем: $(x - a - 5)(x + a + 5)$.

Ответ: $(x - a - 5)(x + a + 5)$

961. Разложите на множители:

а) $x^2 + 2xy + y^2 - m^2$

Заметим, что первые три члена $x^2 + 2xy + y^2$ образуют полный квадрат суммы. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

Подставив это в исходное выражение, получим:

$(x+y)^2 - m^2$.

Теперь это выражение представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x+y$ и $b = m$.

$((x+y) - m)((x+y) + m) = (x+y-m)(x+y+m)$.

Ответ: $(x+y-m)(x+y+m)$.

б) $p^2 - a^2 - 2ab - b^2$

Сгруппируем последние три члена и вынесем знак минус за скобки:

$p^2 - (a^2 + 2ab + b^2)$.

Выражение в скобках $a^2 + 2ab + b^2$ является полным квадратом суммы $(a+b)^2$.

Таким образом, выражение преобразуется к виду:

$p^2 - (a+b)^2$.

Это разность квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = p$ и $B = a+b$.

$(p - (a+b))(p + (a+b)) = (p-a-b)(p+a+b)$.

Ответ: $(p-a-b)(p+a+b)$.

в) $b^2 - c^2 - 8b + 16$

Перегруппируем члены выражения, чтобы выделить полный квадрат:

$(b^2 - 8b + 16) - c^2$.

Выражение в скобках $b^2 - 8b + 16$ является полным квадратом разности. Используем формулу $(a-k)^2 = a^2 - 2ak + k^2$. Здесь $a=b$, $k=4$, и $2ak = 2 \cdot b \cdot 4 = 8b$.

$b^2 - 8b + 16 = (b-4)^2$.

Выражение принимает вид:

$(b-4)^2 - c^2$.

Это разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = b-4$ и $b = c$.

$((b-4) - c)((b-4) + c) = (b-c-4)(b+c-4)$.

Ответ: $(b-c-4)(b+c-4)$.

г) $9 - c^2 + a^2 - 6a$

Перегруппируем члены выражения, чтобы выделить полный квадрат:

$(a^2 - 6a + 9) - c^2$.

Выражение в скобках $a^2 - 6a + 9$ является полным квадратом разности. Используем формулу $(x-k)^2 = x^2 - 2xk + k^2$. Здесь $x=a$, $k=3$, и $2xk = 2 \cdot a \cdot 3 = 6a$.

$a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2$.

Выражение принимает вид:

$(a-3)^2 - c^2$.

Это разность квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = a-3$ и $B = c$.

$((a-3) - c)((a-3) + c) = (a-c-3)(a+c-3)$.

Ответ: $(a-c-3)(a+c-3)$.

962. Разложите на множители:

а) Для того чтобы разложить на множители выражение $x^2 - y^2 - x - y$, мы воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых.
Выражение $x^2 - y^2$ является разностью квадратов и раскладывается по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Таким образом, $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Из оставшихся слагаемых $-x - y$ вынесем за скобки $-1$: $-(x+y)$.
Теперь исходное выражение выглядит так:
$(x-y)(x+y) - (x+y)$
Мы видим, что у нас появился общий множитель $(x+y)$, который можно вынести за скобку:
$(x+y)((x-y) - 1)$
Раскрыв внутренние скобки, получаем окончательный результат:
$(x+y)(x-y-1)$
Ответ: $(x+y)(x-y-1)$

б) Разложим на множители выражение $a^2 - b^2 - a + b$. Этот пример решается аналогично предыдущему с помощью метода группировки.
Сгруппируем первые два слагаемых $a^2 - b^2$ и разложим их как разность квадратов: $(a-b)(a+b)$.
Сгруппируем последние два слагаемых $-a + b$ и вынесем за скобки $-1$: $-(a-b)$.
Получим следующее выражение:
$(a-b)(a+b) - (a-b)$
Общий множитель $(a-b)$ выносим за скобку:
$(a-b)((a+b) - 1)$
Упрощаем выражение во второй скобке:
$(a-b)(a+b-1)$
Ответ: $(a-b)(a+b-1)$

в) Разложим на множители выражение $m + n + m^2 - n^2$. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(m+n) + (m^2-n^2)$.
Выражение $m^2 - n^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $(m-n)(m+n)$.
Подставим это в нашу сгруппированную запись:
$(m+n) + (m-n)(m+n)$
Мы видим общий множитель $(m+n)$. Вынесем его за скобки. Для этого представим первое слагаемое $(m+n)$ как $1 \cdot (m+n)$:
$(m+n)(1 + (m-n))$
Раскроем внутренние скобки и получим:
$(m+n)(1+m-n)$
Ответ: $(m+n)(1+m-n)$

г) Разложим на множители выражение $k^2 - k - p^2 - p$. Сгруппируем слагаемые, содержащие квадраты, и слагаемые первой степени: $(k^2 - p^2) + (-k - p)$.
Разложим разность квадратов $k^2 - p^2 = (k-p)(k+p)$.
Из второй группы $-k-p$ вынесем $-1$: $-(k+p)$.
Теперь выражение имеет вид:
$(k-p)(k+p) - (k+p)$
Выносим общий множитель $(k+p)$ за скобки:
$(k+p)((k-p) - 1)$
Упрощаем выражение во второй скобке:
$(k+p)(k-p-1)$
Ответ: $(k+p)(k-p-1)$

963. Представьте в виде произведения:
а) а − b + а² − b²;б) с² + d − d² + с.

а) Чтобы представить выражение $a - b + a^2 - b^2$ в виде произведения, необходимо сгруппировать слагаемые и вынести общий множитель.

1. Сгруппируем слагаемые следующим образом:
$a - b + a^2 - b^2 = (a - b) + (a^2 - b^2)$.

2. Разложим выражение $a^2 - b^2$ на множители по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

3. Подставим полученное разложение в исходное выражение:
$(a - b) + (a - b)(a + b)$.

4. Теперь у нас есть общий множитель $(a - b)$, который можно вынести за скобки:
$(a - b) \cdot 1 + (a - b)(a + b) = (a - b)(1 + (a + b))$.

5. Упростим выражение во второй скобке:
$(a - b)(1 + a + b)$.

Ответ: $(a - b)(a + b + 1)$.

б) Чтобы представить выражение $c^2 + d - d^2 + c$ в виде произведения, также используем метод группировки.

1. Переставим слагаемые и сгруппируем их:
$c^2 + d - d^2 + c = (c^2 - d^2) + (c + d)$.

2. Разложим выражение $c^2 - d^2$ на множители по формуле разности квадратов:
$c^2 - d^2 = (c - d)(c + d)$.

3. Подставим разложение в сгруппированное выражение:
$(c - d)(c + d) + (c + d)$.

4. Вынесем общий множитель $(c + d)$ за скобки:
$(c + d)((c - d) + 1)$.

5. Раскроем внутренние скобки и упростим:
$(c + d)(c - d + 1)$.

Ответ: $(c + d)(c - d + 1)$.