Номер 958, страница 190 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 38. Применение различных способов для разложения на множители - номер 958, страница 190.

Условие.

958. Разложите на множители:

а) 4xy + 12y − 4х − 12;
б) 60 + 6ab − 30b − 12а;

в) −abc − 5ас − 4аb − 20а;
г) а³ + а²b + а² + ab.

Решение 1.

а) 4xy + 12y − 4х − 12 =
= (4xy - 4x) + (12y - 12) =
= 4x(y - 1) + 12(y - 1) =
= (y - 1) (4x + 12)=
= 4(y - 1) (x + 3);

б) 60 + 6ab − 30b − 12а =
= (60 - 12a) + (6ab - 30b) =
= 12(5 - a) + 6b(a - 5) =
= 12(5 - a) - 6b(5 - a) =
= (5 - a) (12 - 6b) =
= 6(2 - b) (5 - a);

в) −abc − 5ас − 4аb − 20а =
= (-abc - 4ab) + (-5ac - 20a) =
= -ab(c + 4) - 5a(c + 4) =
= (c + 4) (-ab - 5a) =
= -a(5 + b) (c + 4);

г) а³ + а²b + а² + ab =
= (a³ + a²b) + (a² + ab) =
= a²(a + b) + a(a + b) =
= (a + b) (a² + a) =
= a(a + b) (a + 1).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $4xy+12y-4x-12$

Для разложения на множители многочлена $4xy+12y-4x-12$ применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(4xy+12y) + (-4x-12)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $4y$, во второй — $-4$.

$4y(x+3) - 4(x+3)$

Теперь мы видим общий множитель $(x+3)$, который также можно вынести за скобки:

$(4y-4)(x+3)$

В первом множителе $(4y-4)$ можно вынести за скобки общий множитель 4:

$4(y-1)(x+3)$

Ответ: $4(y-1)(x+3)$.

б) $60+6ab-30b-12a$

Перегруппируем слагаемые для удобства, чтобы члены с общими переменными стояли рядом. Например, так:

$6ab-12a-30b+60$

Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(6ab-12a) + (-30b+60)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $6a$, во второй — $-30$.

$6a(b-2) - 30(b-2)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(b-2)$:

$(6a-30)(b-2)$

В первом множителе $(6a-30)$ можно вынести за скобки общий множитель 6:

$6(a-5)(b-2)$

Ответ: $6(a-5)(b-2)$.

в) $-abc-5ac-4ab-20a$

Заметим, что у всех членов многочлена есть общий множитель $-a$. Вынесем его за скобки:

$-a(bc+5c+4b+20)$

Теперь разложим на множители выражение в скобках, используя метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$-a((bc+5c) + (4b+20))$

Вынесем общие множители из каждой группы в скобках. В первой группе это $c$, во второй — $4$.

$-a(c(b+5) + 4(b+5))$

Теперь вынесем общий множитель $(b+5)$:

$-a((c+4)(b+5))$

Уберем лишние скобки и получим окончательный вид.

Ответ: $-a(c+4)(b+5)$.

г) $a^3+a^2b+a^2+ab$

Заметим, что у всех членов многочлена есть общий множитель $a$. Вынесем его за скобки:

$a(a^2+ab+a+b)$

Теперь разложим на множители выражение в скобках, используя метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$a((a^2+ab) + (a+b))$

Вынесем общие множители из каждой группы в скобках. В первой группе это $a$, во второй группе общий множитель 1.

$a(a(a+b) + 1(a+b))$

Теперь вынесем общий множитель $(a+b)$:

$a((a+1)(a+b))$

Уберем лишние скобки.

Ответ: $a(a+1)(a+b)$.