Номер 960, страница 190 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 38. Применение различных способов для разложения на множители - номер 960, страница 190.

Условие.

960. Выполните разложение на множители:

а) х² − 2хс + с² − d²;
б) с² + 2с + 1 − a²;

в) р² − x² + 6х − 9;
г) х² − a² − 10a − 25.

Решение 1.

а) х² − 2хс + с² − d² =
= (x - c)² - d² =
= (x - c - d) (x - c + d);

б) с² + 2с + 1 − a² =
= (c + 1)² - a² =
= (c + 1 - a) (c + 1 + a);

в) р² − x² + 6х − 9 =
= p² - (x² - 6x + 9) =
= p² - (x - 3)² =
= (p - (x - 3)) (p + (x - 3)) =
= (p - x - 3) (p + x - 3);

г) х² − a² − 10a − 25 =
= x² - (a² + 10a + 25) =
= x² - (a + 5)² =
= (x - (a + 5)) (x + (a + 5)) =
= (x - a - 5) (x + a + 5).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^2 - 2xc + c^2 - d^2$

Сгруппируем первые три слагаемых: $(x^2 - 2xc + c^2) - d^2$. Выражение в скобках является полным квадратом разности, так как соответствует формуле сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=c$, поэтому $x^2 - 2xc + c^2 = (x-c)^2$.

Подставив это в исходное выражение, получим $(x-c)^2 - d^2$.

Теперь мы имеем разность квадратов, которую можно разложить по формуле $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$. Здесь $A = (x-c)$ и $B = d$.

Применяя формулу, получаем: $((x-c) - d)((x-c) + d)$.

Раскрыв внутренние скобки, окончательно имеем: $(x - c - d)(x - c + d)$.

Ответ: $(x - c - d)(x - c + d)$

б) $c^2 + 2c + 1 - a^2$

Сгруппируем первые три слагаемых: $(c^2 + 2c + 1) - a^2$. Выражение в скобках — это полный квадрат суммы, который соответствует формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=c$ и $b=1$, поэтому $c^2 + 2c + 1 = (c+1)^2$.

Выражение преобразуется к виду $(c+1)^2 - a^2$.

Это разность квадратов $A^2 - B^2$, где $A = (c+1)$ и $B = a$. Применим формулу разложения на множители $(A-B)(A+B)$.

Получаем: $((c+1) - a)((c+1) + a)$.

Раскрыв внутренние скобки, получим: $(c - a + 1)(c + a + 1)$.

Ответ: $(c - a + 1)(c + a + 1)$

в) $p^2 - x^2 + 6x - 9$

Сгруппируем последние три слагаемых, вынеся за скобки знак минус: $p^2 - (x^2 - 6x + 9)$.

Выражение в скобках $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=3$. Таким образом, $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.

Исходное выражение принимает вид $p^2 - (x-3)^2$.

Это разность квадратов $A^2 - B^2$, где $A = p$ и $B = (x-3)$.

Раскладываем по формуле $(A-B)(A+B)$: $(p - (x-3))(p + (x-3))$.

Раскрывая внутренние скобки и учитывая знаки, получаем: $(p - x + 3)(p + x - 3)$.

Ответ: $(p - x + 3)(p + x - 3)$

г) $x^2 - a^2 - 10a - 25$

Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $a$, и вынесем знак минус за скобки: $x^2 - (a^2 + 10a + 25)$.

Выражение в скобках $a^2 + 10a + 25$ — это полный квадрат суммы по формуле $(c+d)^2 = c^2 + 2cd + d^2$, где $c=a$ и $d=5$. Следовательно, $a^2 + 10a + 25 = (a+5)^2$.

Выражение преобразуется к виду $x^2 - (a+5)^2$.

Применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = x$ и $B = (a+5)$.

Получаем: $(x - (a+5))(x + (a+5))$.

Раскрывая внутренние скобки, имеем: $(x - a - 5)(x + a + 5)$.

Ответ: $(x - a - 5)(x + a + 5)$