Номер 962, страница 190 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 38. Применение различных способов для разложения на множители - номер 962, страница 190.

Условие.

962. Разложите на множители:

а) х² − у² − х − у;
б) а² − b² − а + b;

в) m + n + m² − n²;
г) k² − k − р² − р.

Решение 1.

а) х² − у² − х − у =
= (x² - y²) - (x + y) =
= (x - y) (x + y) - (x + y) =
= (x + y) (x - y - 1);

б) а² − b² − а + b =
= (a² - b²) - (a - b) =
= (a - b) (a + b) - (a - b) =
= (a - b) (a + b - 1);

в) m + n + m² − n² =
= (m + n) + (m² - n²) =
= (m + n) + (m - n) (m + n) =
= (m + n) (1 + m - n);

г) k² − k − р² − р =
= (k² - p²) - (k + p) =
= (k - p) (k + p) - (k + p) =
= (k + p) (k - p - 1).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для того чтобы разложить на множители выражение $x^2 - y^2 - x - y$, мы воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых.
Выражение $x^2 - y^2$ является разностью квадратов и раскладывается по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Таким образом, $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Из оставшихся слагаемых $-x - y$ вынесем за скобки $-1$: $-(x+y)$.
Теперь исходное выражение выглядит так:
$(x-y)(x+y) - (x+y)$
Мы видим, что у нас появился общий множитель $(x+y)$, который можно вынести за скобку:
$(x+y)((x-y) - 1)$
Раскрыв внутренние скобки, получаем окончательный результат:
$(x+y)(x-y-1)$
Ответ: $(x+y)(x-y-1)$

б) Разложим на множители выражение $a^2 - b^2 - a + b$. Этот пример решается аналогично предыдущему с помощью метода группировки.
Сгруппируем первые два слагаемых $a^2 - b^2$ и разложим их как разность квадратов: $(a-b)(a+b)$.
Сгруппируем последние два слагаемых $-a + b$ и вынесем за скобки $-1$: $-(a-b)$.
Получим следующее выражение:
$(a-b)(a+b) - (a-b)$
Общий множитель $(a-b)$ выносим за скобку:
$(a-b)((a+b) - 1)$
Упрощаем выражение во второй скобке:
$(a-b)(a+b-1)$
Ответ: $(a-b)(a+b-1)$

в) Разложим на множители выражение $m + n + m^2 - n^2$. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(m+n) + (m^2-n^2)$.
Выражение $m^2 - n^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $(m-n)(m+n)$.
Подставим это в нашу сгруппированную запись:
$(m+n) + (m-n)(m+n)$
Мы видим общий множитель $(m+n)$. Вынесем его за скобки. Для этого представим первое слагаемое $(m+n)$ как $1 \cdot (m+n)$:
$(m+n)(1 + (m-n))$
Раскроем внутренние скобки и получим:
$(m+n)(1+m-n)$
Ответ: $(m+n)(1+m-n)$

г) Разложим на множители выражение $k^2 - k - p^2 - p$. Сгруппируем слагаемые, содержащие квадраты, и слагаемые первой степени: $(k^2 - p^2) + (-k - p)$.
Разложим разность квадратов $k^2 - p^2 = (k-p)(k+p)$.
Из второй группы $-k-p$ вынесем $-1$: $-(k+p)$.
Теперь выражение имеет вид:
$(k-p)(k+p) - (k+p)$
Выносим общий множитель $(k+p)$ за скобки:
$(k+p)((k-p) - 1)$
Упрощаем выражение во второй скобке:
$(k+p)(k-p-1)$
Ответ: $(k+p)(k-p-1)$