Номер 955, страница 190 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 38. Применение различных способов для разложения на множители - номер 955, страница 190.

Условие.

955. Разложите на множители:

а) 3х² + 6ху + 3у²;
б) −m² + 2m − 1;
в) −4х − 4 − х²;
г) 6p² + 24q² + 24pq;
д) 45x + 30aх + 5a²х;
е) 18сх² − 24сх + 8с.

Решение 1.

а) 3х² + 6ху + 3у² =
= 3(x² + 2xy + y²) = 3(x + y)²;

б) −m² + 2m − 1 =
= -(m² - 2m + 1) = -(m - 1)²;

в) −4х − 4 − х² =
= -(x² + 4x + 4) = -(x + 2)²;

г) 6p² + 24q² + 24pq =
= 6(p² + 4q² + 4pq) =
= 6(p + 2q)²;

д) 45x + 30aх + 5a²х =
= 5x(9 + 6a + a²) = 5x(3 + a)²;

е) 18сх² − 24сх + 8с =
= 2c(9x² - 12x + 4) = 2c(3x - 2)².

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $3x^2 + 6xy + 3y^2$
Для разложения на множители сначала вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3(x^2 + 2xy + y^2)$
Выражение в скобках представляет собой формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a=x$ и $b=y$.
Таким образом, получаем:
$3(x+y)^2$
Ответ: $3(x+y)^2$

б) $-m^2 + 2m - 1$
Вынесем -1 за скобки, чтобы получить более удобное для факторизации выражение:
$-(m^2 - 2m + 1)$
Выражение в скобках является формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=m$ и $b=1$.
Следовательно, выражение равно:
$-(m-1)^2$
Ответ: $-(m-1)^2$

в) $-4x - 4 - x^2$
Сначала изменим порядок слагаемых для наглядности и вынесем -1 за скобки:
$-(x^2 + 4x + 4)$
Выражение в скобках — это квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=2$.
Получаем:
$-(x+2)^2$
Ответ: $-(x+2)^2$

г) $6p^2 + 24q^2 + 24pq$
Переставим слагаемые и вынесем общий множитель 6 за скобки:
$6(p^2 + 4pq + 4q^2)$
Выражение в скобках соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=p$ и $b=2q$. Проверим: $a^2 = p^2$, $b^2 = (2q)^2 = 4q^2$, $2ab = 2 \cdot p \cdot 2q = 4pq$.
Таким образом:
$6(p+2q)^2$
Ответ: $6(p+2q)^2$

д) $45x + 30ax + 5a^2x$
Вынесем общий множитель $5x$ за скобки:
$5x(9 + 6a + a^2)$
Изменим порядок слагаемых в скобках: $5x(a^2 + 6a + 9)$.
Выражение в скобках является квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=a$ и $b=3$.
Получаем:
$5x(a+3)^2$
Ответ: $5x(a+3)^2$

е) $18cx^2 - 24cx + 8c$
Вынесем общий множитель $2c$ за скобки:
$2c(9x^2 - 12x + 4)$
Выражение в скобках является квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=3x$ и $b=2$. Проверим: $a^2 = (3x)^2 = 9x^2$, $b^2 = 2^2 = 4$, $2ab = 2 \cdot 3x \cdot 2 = 12x$.
Следовательно:
$2c(3x-2)^2$
Ответ: $2c(3x-2)^2$