Номер 957, страница 190 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 38. Применение различных способов для разложения на множители - номер 957, страница 190.

Условие.

957. Выполните разложение на множители:

а) 2m² − 4m + 2;
б) 36 + 24х + 4х²;

в) 8a³ − 8b³;
г) 9ax³ + 9ay³.

Решение 1.

а) 2m² − 4m + 2 =
= 2(m² - 2m + 1) = 2(m - 1)²;

б) 36 + 24х + 4х² = (6 + 2x)² =
= (2(3 + x))² = 4(3 + x)²;

в) 8a³ − 8b³ = (2a)³ - (2b)³ =
= (2a - 2b) (4a² + 4ab + 4b²) =
= 2(a - b) ⋅ 4(a² + ab + b²) =
= 8(a - b) (a² + ab + b²);

г) 9ax³ + 9ay³ = 9a(x³ + y³) =
= 9a(x + y) (x² - xy + y²).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для разложения на множители выражения $2m^2 - 4m + 2$ первым шагом вынесем общий числовой множитель 2 за скобки:
$2m^2 - 4m + 2 = 2(m^2 - 2m + 1)$.
Выражение в скобках $m^2 - 2m + 1$ является полным квадратом разности, который соответствует формуле сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a = m$ и $b = 1$. Проверим: $m^2 - 2 \cdot m \cdot 1 + 1^2 = (m - 1)^2$.
Следовательно, окончательное разложение имеет вид: $2(m - 1)^2$.
Ответ: $2(m-1)^2$

б) Рассмотрим выражение $36 + 24x + 4x^2$. Для удобства расположим слагаемые по убыванию степеней переменной $x$: $4x^2 + 24x + 36$.
Вынесем общий множитель 4 за скобки:
$4(x^2 + 6x + 9)$.
Выражение в скобках $x^2 + 6x + 9$ представляет собой полный квадрат суммы. Применим формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = x$ и $b = 3$. Проверим: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x + 3)^2$.
Таким образом, итоговое разложение: $4(x + 3)^2$.
Ответ: $4(x+3)^2$

в) Для разложения выражения $8a^3 - 8b^3$ сначала вынесем общий множитель 8 за скобки:
$8a^3 - 8b^3 = 8(a^3 - b^3)$.
Выражение в скобках $a^3 - b^3$ представляет собой разность кубов. Используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.
Применив формулу к нашему выражению ($x=a$, $y=b$), получаем:
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Следовательно, полное разложение на множители: $8(a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Ответ: $8(a-b)(a^2+ab+b^2)$

г) Разложим на множители выражение $9ax^3 + 9ay^3$. Общим множителем для обоих членов является $9a$. Вынесем его за скобки:
$9ax^3 + 9ay^3 = 9a(x^3 + y^3)$.
Выражение в скобках $x^3 + y^3$ является суммой кубов. Применим соответствующую формулу: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
Таким образом, окончательный вид разложения: $9a(x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Ответ: $9a(x+y)(x^2-xy+y^2)$