Номер 954, страница 190 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 38. Применение различных способов для разложения на множители - номер 954, страница 190.

Условие.

954. Разложите на множители:
а) р⁴ − 16; б) х⁴ − 81; в) у⁸ − 1; г) a⁴ − b⁸.

Решение 1.

а) р⁴ − 16 = (p²)² - 4² =
= (p² - 4) (p² + 4) =
= (p - 2) (p + 2) (p² + 4);

б) х⁴ − 81 = (x²)² - 9² =
= (x² - 9) (x² + 9) =
= (x - 3) (x + 3) (x² + 9);

в) у⁸ − 1 = (y⁴)² - 1² =
= (y⁴ - 1) (y⁴ + 1) =
= ((y²)² - 1²) (y⁴ +1) =
= (y² - 1) (y² + 1) (y⁴ + 1) =
= (y - 1) (y + 1) (y² + 1) (y⁴ + 1);

г) a⁴ − b⁸ = (a²)² - (b⁴)² =
= (a² - b⁴) (a² + b⁴) =
= (a - b²) (a + b²) (a² + b⁴).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $p^4 - 16$

Для разложения на множители используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим $p^4$ как $(p^2)^2$ и $16$ как $4^2$.
$p^4 - 16 = (p^2)^2 - 4^2 = (p^2 - 4)(p^2 + 4)$.
Теперь множитель $(p^2 - 4)$ можно снова разложить по той же формуле, представив его как $p^2 - 2^2$.
$p^2 - 4 = (p - 2)(p + 2)$.
Множитель $(p^2 + 4)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Объединив результаты, получаем:
$p^4 - 16 = (p - 2)(p + 2)(p^2 + 4)$.
Ответ: $(p - 2)(p + 2)(p^2 + 4)$.

б) $x^4 - 81$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим $x^4$ как $(x^2)^2$ и $81$ как $9^2$.
$x^4 - 81 = (x^2)^2 - 9^2 = (x^2 - 9)(x^2 + 9)$.
Множитель $(x^2 - 9)$ также является разностью квадратов: $x^2 - 3^2$.
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Множитель $(x^2 + 9)$ является суммой квадратов и не раскладывается дальше.
Следовательно, итоговое разложение:
$x^4 - 81 = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)$.
Ответ: $(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)$.

в) $y^8 - 1$

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ последовательно.
Сначала представим $y^8$ как $(y^4)^2$ и $1$ как $1^2$.
$y^8 - 1 = (y^4)^2 - 1^2 = (y^4 - 1)(y^4 + 1)$.
Теперь разложим множитель $(y^4 - 1)$, представив его как $(y^2)^2 - 1^2$.
$y^4 - 1 = (y^2 - 1)(y^2 + 1)$.
Далее, разложим множитель $(y^2 - 1)$ как $y^2 - 1^2$.
$y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$.
Множители $(y^2 + 1)$ и $(y^4 + 1)$ являются суммами квадратов и не раскладываются.
Собираем все множители:
$y^8 - 1 = (y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)$.
Ответ: $(y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)$.

г) $a^4 - b^8$

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим $a^4$ как $(a^2)^2$ и $b^8$ как $(b^4)^2$.
$a^4 - b^8 = (a^2)^2 - (b^4)^2 = (a^2 - b^4)(a^2 + b^4)$.
Множитель $(a^2 - b^4)$ можно снова разложить по той же формуле, представив его как $a^2 - (b^2)^2$.
$a^2 - b^4 = (a - b^2)(a + b^2)$.
Множитель $(a^2 + b^4)$ не раскладывается.
Итоговое разложение:
$a^4 - b^8 = (a - b^2)(a + b^2)(a^2 + b^4)$.
Ответ: $(a - b^2)(a + b^2)(a^2 + b^4)$.