Номер 950, страница 190 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 38. Применение различных способов для разложения на множители - номер 950, страница 190.

Условие.

951. Разложите на множители многочлен:

а) 5х² − 5y²;
б) аm² − аn²;

в) 2ах² − 2ау²;
г) 9p² − 9;

д) 16x² − 4;
е) 75 − 27с².

Решение 1.

а) 5х² − 5y² = 5(x² - y²) =
= 5(x - y) (x + y);

б) аm² − аn² = a(m² - n²) =
= a(m - n) (m + n);

в) 2ах² − 2ау² = 2a(x² - y²) =
= 2a(x - y) (x + y);

г) 9p² − 9 = 9(p² - 1) =
= 9(p - 1) (p + 1);

д) 16x² − 4 = 4(4x² - 1) =
= 4(2x - 1) (2x + 1);

е) 75 − 27с² = 3(25 - 9c²) =
= 3(5 - 3c) (5 + 3c).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $5x^2 - 5y^2$

Для разложения этого многочлена на множители сначала вынесем общий числовой множитель 5 за скобки:

$5x^2 - 5y^2 = 5(x^2 - y^2)$

Теперь выражение в скобках, $x^2 - y^2$, представляет собой разность квадратов. Мы можем применить формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x$ и $b = y$.

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Подставив это разложение обратно, получаем окончательный результат:

$5(x - y)(x + y)$

Ответ: $5(x - y)(x + y)$

б) $am^2 - an^2$

В этом выражении общим множителем является переменная $a$. Вынесем ее за скобки:

$am^2 - an^2 = a(m^2 - n^2)$

Выражение в скобках $m^2 - n^2$ также является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = m$ и $b = n$.

$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$

Таким образом, полное разложение многочлена на множители имеет вид:

$a(m - n)(m + n)$

Ответ: $a(m - n)(m + n)$

в) $2ax^2 - 2ay^2$

Здесь общий множитель для обоих членов — это $2a$. Вынесем его за скобки:

$2ax^2 - 2ay^2 = 2a(x^2 - y^2)$

Снова используем формулу разности квадратов для выражения $x^2 - y^2$:

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Окончательный результат разложения:

$2a(x - y)(x + y)$

Ответ: $2a(x - y)(x + y)$

г) $9p^2 - 9$

Общий числовой множитель здесь равен 9. Выносим его за скобки:

$9p^2 - 9 = 9(p^2 - 1)$

Выражение $p^2 - 1$ является разностью квадратов, поскольку $1$ можно представить как $1^2$. Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = p$ и $b = 1$.

$p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)$

Следовательно, разложение на множители:

$9(p - 1)(p + 1)$

Ответ: $9(p - 1)(p + 1)$

д) $16x^2 - 4$

Общий множитель для $16x^2$ и $4$ — это 4. Вынесем его за скобки:

$16x^2 - 4 = 4(4x^2 - 1)$

Выражение в скобках $4x^2 - 1$ является разностью квадратов. Здесь $4x^2$ — это квадрат выражения $2x$ (т.е. $(2x)^2$), а 1 — это квадрат 1 (т.е. $1^2$). Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 2x$ и $b = 1$.

$4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$

Полное разложение выглядит так:

$4(2x - 1)(2x + 1)$

Ответ: $4(2x - 1)(2x + 1)$

е) $75 - 27c^2$

Найдем наибольший общий делитель для чисел 75 и 27. Это 3, так как $75 = 3 \cdot 25$ и $27 = 3 \cdot 9$. Вынесем 3 за скобки:

$75 - 27c^2 = 3(25 - 9c^2)$

Выражение в скобках $25 - 9c^2$ — это разность квадратов. $25$ — это $5^2$, а $9c^2$ — это $(3c)^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 5$ и $b = 3c$.

$25 - 9c^2 = (5 - 3c)(5 + 3c)$

В результате получаем разложение:

$3(5 - 3c)(5 + 3c)$

Ответ: $3(5 - 3c)(5 + 3c)$