Номер 946, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 37. Преобразование целого выражения в многочлен - номер 946, страница 187.

Условие.

946. Представьте данный трёхчлен, если это возможно, в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена:

а) 25у² − 15ау + 9а²;
б) 15аb − 9а² − 614b²;

в) 4b² + 0,25с² − 2bс;
г) 0,36а² + 0,04у² − 0,24ау.

Решение 1.

а) 25у² − 15ау + 9а² =
= (5y)² - 2 ⋅ 5y ⋅ 3a + (3a)² =
= (5y - 3a)² + 15ay – представить невозможно;

$\mathbf{б}\mathbf{)} 15\mathrm{аb} - 9\mathrm{а}² - 6\frac{1}{4}\mathrm{b}²=$

$=-\left(9{\mathrm{a}}^2-15\mathrm{ab}+\frac{25}{4}{\mathrm{b}}^2\right)=$

$=-\left({\left(3\mathrm{a}\right)}^2-2·3\mathrm{a}·\frac{5}{2}\mathrm{b}+{\left(\frac{5}{2}\mathrm{b}\right)}^2\right)=$

$=-{\left(3\mathrm{a}-\frac{5}{2}\mathrm{b}\right)}^2=-{\left(3\mathrm{a}-2,5\mathrm{b}\right)}^2;$

в) 4b² + 0,25с² − 2bс =
= (2b)² - 2 ⋅ 2b ⋅ 0,5c + (0,5c)² =
= (2b - 0,5c);

г) 0,36а² + 0,04у² − 0,24ау =
= (0,6a)² - 2 ⋅ 0,6a ⋅ 0,2y + (0,2y)² =
= (0,6a - 0,2y)².

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Рассмотрим трехчлен $25y^2 - 15ay + 9a^2$.

Чтобы представить выражение в виде квадрата двучлена, мы используем формулы квадрата суммы или разности: $(x \pm z)^2 = x^2 \pm 2xz + z^2$.

В нашем выражении есть два члена, которые являются полными квадратами: $25y^2 = (5y)^2$ и $9a^2 = (3a)^2$.

Предположим, что это квадрат разности, тогда $x=5y$ и $z=3a$. Проверим средний член, который должен быть удвоенным произведением $2xz$.

$2xz = 2 \cdot (5y) \cdot (3a) = 30ay$.

Средний член в данном трехчлене равен $-15ay$.

Поскольку $-15ay \neq -30ay$, данный трехчлен не является квадратом двучлена.

Выражение, противоположное квадрату двучлена, имеет вид $-(x \pm z)^2 = -x^2 \mp 2xz - z^2$. У такого выражения либо все члены отрицательны, либо один член положителен, а два — отрицательны. Данный трехчлен $25y^2 - 15ay + 9a^2$ имеет два положительных члена и один отрицательный, поэтому он не может быть представлен и в виде выражения, противоположного квадрату двучлена.

Ответ: Представить данный трехчлен в требуемом виде невозможно.

б) Рассмотрим трехчлен $15ab - 9a^2 - 6\frac{1}{4}b^2$.

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$.

Выражение примет вид $15ab - 9a^2 - \frac{25}{4}b^2$.

Это выражение имеет один положительный член ($15ab$) и два отрицательных ($-9a^2$ и $-\frac{25}{4}b^2$). Такая структура соответствует выражению, противоположному квадрату разности: $-(x^2 - 2xz + z^2) = -x^2 + 2xz - z^2$.

Вынесем знак минус за скобки и переставим члены: $-(9a^2 - 15ab + \frac{25}{4}b^2)$.

Теперь проанализируем выражение в скобках: $9a^2 - 15ab + \frac{25}{4}b^2$.

Определим члены, которые являются квадратами: $9a^2 = (3a)^2$ и $\frac{25}{4}b^2 = (\frac{5}{2}b)^2$.

Пусть $x = 3a$ и $z = \frac{5}{2}b$.

Найдем удвоенное произведение: $2xz = 2 \cdot 3a \cdot \frac{5}{2}b = 15ab$.

Средний член в скобках, $-15ab$, равен $-2xz$. Следовательно, выражение в скобках является квадратом разности: $9a^2 - 15ab + \frac{25}{4}b^2 = (3a - \frac{5}{2}b)^2$.

Таким образом, исходный трехчлен можно представить как $-(3a - \frac{5}{2}b)^2$.

Ответ: $-(3a - \frac{5}{2}b)^2$.

в) Рассмотрим трехчлен $4b^2 + 0,25c^2 - 2bc$.

Переставим члены для удобства, чтобы соответствовать стандартной форме формулы квадрата двучлена: $4b^2 - 2bc + 0,25c^2$.

Проверим, соответствует ли это выражение формуле квадрата разности $(x - z)^2 = x^2 - 2xz + z^2$.

Определим члены, являющиеся квадратами: $4b^2 = (2b)^2$ и $0,25c^2 = (0,5c)^2$.

Пусть $x = 2b$ и $z = 0,5c$.

Найдем удвоенное произведение: $2xz = 2 \cdot 2b \cdot 0,5c = 2bc$.

Средний член нашего выражения, $-2bc$, равен $-2xz$.

Следовательно, данный трехчлен является квадратом разности двучлена $2b - 0,5c$.

$4b^2 - 2bc + 0,25c^2 = (2b - 0,5c)^2$.

Ответ: $(2b - 0,5c)^2$.

г) Рассмотрим трехчлен $0,36a^2 + 0,04y^2 - 0,24ay$.

Переставим члены, чтобы привести выражение к стандартному виду: $0,36a^2 - 0,24ay + 0,04y^2$.

Это выражение похоже на формулу квадрата разности $(x - z)^2 = x^2 - 2xz + z^2$.

Определим члены, которые являются квадратами: $0,36a^2 = (0,6a)^2$ и $0,04y^2 = (0,2y)^2$.

Пусть $x = 0,6a$ и $z = 0,2y$.

Найдем удвоенное произведение: $2xz = 2 \cdot 0,6a \cdot 0,2y = 0,24ay$.

Средний член нашего выражения, $-0,24ay$, равен $-2xz$.

Таким образом, данный трехчлен является квадратом разности двучлена $0,6a - 0,2y$.

$0,36a^2 - 0,24ay + 0,04y^2 = (0,6a - 0,2y)^2$.

Ответ: $(0,6a - 0,2y)^2$.