Номер 943, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 37. Преобразование целого выражения в многочлен - номер 943, страница 187.

Условие.

943. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

Решение 1.

а) (a - 1) (a² + 1) (a + 1) -
- (a² - 1)² - 2(a² - 3) =
= (a² - 1) (a² + 1) - (a⁴ - 2a² + 1) -
- 2a² + 6 = a⁴ - 1 - a⁴ + 2a² -
- 1 - 2a² + 6 = 4;

б) (a² - 3)² - (a - 2) (a² + 4) ×
× (a + 2) - 6(5 - a²) = a⁴ - 6a² +
+ 9 - (a² - 4) (a² + 4) - 30 + 6a² =
= a⁴ - 6a² + 9 - (a⁴ - 16) - 30 +
+ 6a² = a⁴ - 6a² + 9 - a⁴ + 16 -
- 30 + 6a² = -5.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной, необходимо упростить это выражение. Если в результате упрощения переменная исчезнет и останется только число, то утверждение будет доказано.

а) Упростим выражение $(a-1)(a^2+1)(a+1) - (a^2-1)^2 - 2(a^2-3)$.

1. Сначала рассмотрим произведение $(a-1)(a^2+1)(a+1)$. Перегруппируем множители: $((a-1)(a+1))(a^2+1)$.
Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$:
$(a-1)(a+1) = a^2 - 1^2 = a^2-1$.
Теперь выражение выглядит так: $(a^2-1)(a^2+1)$. Снова применим формулу разности квадратов:
$(a^2-1)(a^2+1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4-1$.

2. Теперь раскроем скобки в выражении $(a^2-1)^2$, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(a^2-1)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 1 + 1^2 = a^4 - 2a^2 + 1$.

3. Раскроем скобки в выражении $2(a^2-3)$:
$2(a^2-3) = 2a^2 - 6$.

4. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:
$(a^4-1) - (a^4 - 2a^2 + 1) - (2a^2 - 6)$.

5. Раскроем все скобки, учитывая знаки, и приведем подобные слагаемые:
$a^4 - 1 - a^4 + 2a^2 - 1 - 2a^2 + 6 = (a^4 - a^4) + (2a^2 - 2a^2) + (-1 - 1 + 6) = 0 + 0 + 4 = 4$.

Значение выражения равно 4, оно не зависит от переменной $a$.
Ответ: 4.

б) Упростим выражение $(a^2-3)^2 - (a-2)(a^2+4)(a+2) - 6(5-a^2)$.

1. Раскроем первую скобку $(a^2-3)^2$ по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(a^2-3)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 3 + 3^2 = a^4 - 6a^2 + 9$.

2. Упростим произведение $(a-2)(a^2+4)(a+2)$. Перегруппируем множители: $((a-2)(a+2))(a^2+4)$.
Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$:
$(a-2)(a+2) = a^2 - 2^2 = a^2-4$.
Получим выражение $(a^2-4)(a^2+4)$. Снова применим эту же формулу:
$(a^2-4)(a^2+4) = (a^2)^2 - 4^2 = a^4 - 16$.

3. Раскроем скобки в выражении $6(5-a^2)$:
$6(5-a^2) = 30 - 6a^2$.

4. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:
$(a^4 - 6a^2 + 9) - (a^4 - 16) - (30 - 6a^2)$.

5. Раскроем все скобки и приведем подобные слагаемые:
$a^4 - 6a^2 + 9 - a^4 + 16 - 30 + 6a^2 = (a^4 - a^4) + (-6a^2 + 6a^2) + (9 + 16 - 30) = 0 + 0 + (25 - 30) = -5$.

Значение выражения равно -5, оно не зависит от переменной $a$.
Ответ: -5.