Номер 941, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 37. Преобразование целого выражения в многочлен - номер 941, страница 187.

Условие.

941. Решите уравнение:
а) х(х + 2)(х − 2) − х(х² − 8) = 16;
б) 2у(4у − 1) − 2(3 − 2у)² = 48.

Решение 1.

а) х(х + 2)(х − 2) − х(х² − 8) = 16;
x(x² - 4) - x³ + 8x = 16;
x³ - 4x - x³ + 8x = 16;
4x = 16;
x = 4.

Ответ: 4.

б) 2у(4у − 1) − 2(3 − 2у)² = 48;
8y² - 2y - 2(9 - 12y + 4y²) = 48;
8y² - 2y - 18 + 24y - 8y² = 48;
22y = 48 + 18;
22y = 66;
$\mathrm{y}=\frac{66}{22};$
y = 3.

Ответ: 3.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x(x + 2)(x - 2) - x(x^2 - 8) = 16$

В левой части уравнения для выражения $(x + 2)(x - 2)$ применим формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$x(x^2 - 4) - x(x^2 - 8) = 16$

Теперь раскроем скобки, умножая $x$ на каждый член в скобках:

$x \cdot x^2 - x \cdot 4 - (x \cdot x^2 - x \cdot 8) = 16$

$x^3 - 4x - (x^3 - 8x) = 16$

Раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, знаки слагаемых внутри скобок изменятся на противоположные:

$x^3 - 4x - x^3 + 8x = 16$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $x^3$ и $-x^3$ взаимно уничтожаются.

$(x^3 - x^3) + (-4x + 8x) = 16$

$4x = 16$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{16}{4}$

$x = 4$

Ответ: $x=4$

б) $2y(4y - 1) - 2(3 - 2y)^2 = 48$

Для упрощения разделим каждый член уравнения на 2:

$\frac{2y(4y - 1)}{2} - \frac{2(3 - 2y)^2}{2} = \frac{48}{2}$

$y(4y - 1) - (3 - 2y)^2 = 24$

Теперь раскроем скобки в левой части. Для выражения $(3 - 2y)^2$ используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$y(4y - 1) = 4y^2 - y$

$(3 - 2y)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2y + (2y)^2 = 9 - 12y + 4y^2$

Подставим раскрытые выражения обратно в уравнение:

$(4y^2 - y) - (9 - 12y + 4y^2) = 24$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$4y^2 - y - 9 + 12y - 4y^2 = 24$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $4y^2$ и $-4y^2$ взаимно уничтожаются.

$(4y^2 - 4y^2) + (-y + 12y) - 9 = 24$

$11y - 9 = 24$

Перенесем -9 в правую часть уравнения, изменив знак на плюс:

$11y = 24 + 9$

$11y = 33$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 11:

$y = \frac{33}{11}$

$y = 3$

Ответ: $y=3$