Номер 944, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Преобразование целого выражения в многочлен. § 13. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 944, страница 187.

944. Упростите выражение:

а) $(y - 3)(y^2 + 9)(y + 3) - (2y^2 - y)^2 - 19$

1. В первом произведении сгруппируем множители $(y - 3)$ и $(y + 3)$. Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(y - 3)(y + 3)(y^2 + 9) - (2y^2 - y)^2 - 19 = (y^2 - 3^2)(y^2 + 9) - (2y^2 - y)^2 - 19 = (y^2 - 9)(y^2 + 9) - (2y^2 - y)^2 - 19$

2. Теперь к выражению $(y^2 - 9)(y^2 + 9)$ снова применим формулу разности квадратов:

$(y^2 - 9)(y^2 + 9) = (y^2)^2 - 9^2 = y^4 - 81$

3. Раскроем вторую скобку $(2y^2 - y)^2$, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2y^2 - y)^2 = (2y^2)^2 - 2 \cdot (2y^2) \cdot y + y^2 = 4y^4 - 4y^3 + y^2$

4. Подставим полученные выражения обратно в исходное:

$(y^4 - 81) - (4y^4 - 4y^3 + y^2) - 19$

5. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^4 - 81 - 4y^4 + 4y^3 - y^2 - 19 = (y^4 - 4y^4) + 4y^3 - y^2 - (81 + 19) = -3y^4 + 4y^3 - y^2 - 100$

Ответ: $-3y^4 + 4y^3 - y^2 - 100$

б) $(1 - a)(1 - a^2) + (1 + a)(1 + a^2) - 2a(1 + a)(a - 1)$

1. Раскроем скобки в первом слагаемом:

$(1 - a)(1 - a^2) = 1 - a^2 - a + a^3$

2. Раскроем скобки во втором слагаемом:

$(1 + a)(1 + a^2) = 1 + a^2 + a + a^3$

3. Упростим третье слагаемое. Заметим, что произведение $(1 + a)(a - 1)$ является разностью квадратов $(a+1)(a-1) = a^2 - 1$:

$-2a(1 + a)(a - 1) = -2a(a^2 - 1) = -2a^3 + 2a$

4. Подставим все упрощенные части в исходное выражение:

$(1 - a^2 - a + a^3) + (1 + a^2 + a + a^3) + (-2a^3 + 2a)$

5. Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$1 - a^2 - a + a^3 + 1 + a^2 + a + a^3 - 2a^3 + 2a$

Сгруппируем по степеням переменной $a$:

$(a^3 + a^3 - 2a^3) + (-a^2 + a^2) + (-a + a + 2a) + (1 + 1)$

$0 \cdot a^3 + 0 \cdot a^2 + 2a + 2 = 2a + 2$

Ответ: $2a + 2$