Номер 947, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 37. Преобразование целого выражения в многочлен - номер 947, страница 187.

Условие.

947. Разложите на множители:

а) −20x⁴y² − 35х³y³;
б) 3а³b²с + 9аb²c³;

в) −1,2а³b + 1,2b⁴;
г) 7,2х⁴у⁴ + 1,8х⁴у².

Решение 1.

а) −20x⁴y² − 35х³y³ =
= -5x³y²(4x + 7y);

б) 3а³b²с + 9аb²c³ =
= 3ab²c(a² + 3c²);

в) −1,2а³b + 1,2b⁴ =
= 1,2b(b³ - a³) =
= 1,2b(b - a) (b² + ab + a²);

г) 7,2х⁴у⁴ + 1,8х⁴у² =
= 1,8x⁴y²(4y² - 1) =
= 1,8x⁴y²(2y - 1) (2y + 1).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Для того чтобы разложить на множители выражение $-20x^4y^2 - 35x^3y^3$, необходимо найти и вынести за скобки общий множитель.

1. Найдём наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 20 и 35. НОД(20, 35) = 5. Поскольку оба члена отрицательны, удобно вынести за скобки -5.

2. Найдём общие множители для переменных. Для $x$ это $x^3$ (наименьшая степень из $x^4$ и $x^3$), а для $y$ это $y^2$ (наименьшая степень из $y^2$ и $y^3$).

Таким образом, общий множитель для всего выражения равен $-5x^3y^2$.

Вынесем его за скобки, разделив каждый член исходного многочлена на этот общий множитель: $-20x^4y^2 - 35x^3y^3 = -5x^3y^2(\frac{-20x^4y^2}{-5x^3y^2} + \frac{-35x^3y^3}{-5x^3y^2}) = -5x^3y^2(4x + 7y)$.

Ответ: $-5x^3y^2(4x + 7y)$

б)

Разложим на множители выражение $3a^3b^2c + 9ab^2c^3$.

1. НОД для коэффициентов 3 и 9 равен 3.

2. Общие множители для переменных: $a$ (из $a^3$ и $a$), $b^2$ (из $b^2$ и $b^2$), $c$ (из $c$ и $c^3$).

Общий множитель для всего выражения: $3ab^2c$.

Вынесем его за скобки: $3a^3b^2c + 9ab^2c^3 = 3ab^2c(\frac{3a^3b^2c}{3ab^2c} + \frac{9ab^2c^3}{3ab^2c}) = 3ab^2c(a^2 + 3c^2)$.

Ответ: $3ab^2c(a^2 + 3c^2)$

в)

Разложим на множители выражение $-1,2a^3b + 1,2b^4$.

1. Общий множитель для коэффициентов -1,2 и 1,2 равен 1,2. Вынесем $-1,2$, чтобы первый член в скобках был положительным.

2. Общий множитель для переменных: $b$ (из $b$ и $b^4$). Переменная $a$ есть только в первом члене, поэтому ее не выносим.

Общий множитель для всего выражения: $-1,2b$.

Вынесем его за скобки: $-1,2a^3b + 1,2b^4 = -1,2b(\frac{-1,2a^3b}{-1,2b} + \frac{1,2b^4}{-1,2b}) = -1,2b(a^3 - b^3)$.

Ответ: $-1,2b(a^3 - b^3)$

г)

Разложим на множители выражение $7,2x^4y^4 - 1,8x^4y^2$.

1. НОД для коэффициентов 7,2 и 1,8 равен 1,8.

2. Общие множители для переменных: $x^4$ (из $x^4$ и $x^4$), $y^2$ (из $y^4$ и $y^2$).

Общий множитель для всего выражения: $1,8x^4y^2$.

Вынесем его за скобки: $7,2x^4y^4 - 1,8x^4y^2 = 1,8x^4y^2(\frac{7,2x^4y^4}{1,8x^4y^2} - \frac{1,8x^4y^2}{1,8x^4y^2}) = 1,8x^4y^2(4y^2 - 1)$.

Выражение в скобках $(4y^2 - 1)$ является разностью квадратов, так как $4y^2 = (2y)^2$ и $1 = 1^2$. Применим формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $4y^2 - 1 = (2y-1)(2y+1)$.

Окончательный результат разложения: $1,8x^4y^2(2y-1)(2y+1)$.

Ответ: $1,8x^4y^2(2y-1)(2y+1)$