Номер 945, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 37. Преобразование целого выражения в многочлен - номер 945, страница 187.

Условие.

945. Докажите тождество:

Решение 1.

а) (a - 3с) (4c + 2a) +
+ 3c(a + 3c) = (2a - c) ×
× (3c + 5a) - 8a²

4ac + 2a² - 12c² - 6ac +
+ 3ac + 9c² = 6ac + 10a² -
- 3c² - 5ac - 8a²

2a² - 3c² + ac = 2a² - 3c² + ac

б) (1 - 2b) (1 - 5b + b²) +
+ (2b - 1) (1 - 6b + b²) = b(1 - 2b)

1 - 5b + b² - 2b + 10b² - 2b³ +
+ 2b - 12b² + 2b³ - 1 + 6b - b² =
= b - 2b²

-2b² + b = b - 2b².

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для доказательства тождества $(a - 3c)(4c + 2a) + 3c(a + 3c) = (2a - c)(3c + 5a) - 8a^2$ преобразуем обе его части, левую (ЛЧ) и правую (ПЧ), и покажем, что они равны.

Преобразуем левую часть:
ЛЧ $= (a - 3c)(4c + 2a) + 3c(a + 3c) = (a \cdot 4c + a \cdot 2a - 3c \cdot 4c - 3c \cdot 2a) + (3c \cdot a + 3c \cdot 3c)$
$= (4ac + 2a^2 - 12c^2 - 6ac) + (3ac + 9c^2)$
$= 2a^2 - 2ac - 12c^2 + 3ac + 9c^2$
$= 2a^2 + ac - 3c^2$.

Преобразуем правую часть:
ПЧ $= (2a - c)(3c + 5a) - 8a^2 = (2a \cdot 3c + 2a \cdot 5a - c \cdot 3c - c \cdot 5a) - 8a^2$
$= (6ac + 10a^2 - 3c^2 - 5ac) - 8a^2$
$= 10a^2 + ac - 3c^2 - 8a^2$
$= 2a^2 + ac - 3c^2$.

В результате преобразований мы получили, что левая и правая части равны: $2a^2 + ac - 3c^2 = 2a^2 + ac - 3c^2$.
Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $(1 - 2b)(1 - 5b + b^2) + (2b - 1)(1 - 6b + b^2) = b(1 - 2b)$ преобразуем его левую часть.

Заметим, что выражение $(2b - 1)$ можно записать как $-(1 - 2b)$. Это позволяет вынести общий множитель $(1 - 2b)$ за скобки:
$(1 - 2b)(1 - 5b + b^2) - (1 - 2b)(1 - 6b + b^2)$
$= (1 - 2b) \cdot [(1 - 5b + b^2) - (1 - 6b + b^2)]$
Раскроем скобки внутри квадратных скобок:
$= (1 - 2b) \cdot (1 - 5b + b^2 - 1 + 6b - b^2)$
Приведем подобные слагаемые во второй скобке:
$= (1 - 2b) \cdot ((1-1) + (-5b+6b) + (b^2-b^2))$
$= (1 - 2b) \cdot b$
$= b(1 - 2b)$.

В результате преобразований левая часть стала равна правой части: $b(1 - 2b) = b(1 - 2b)$.
Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.