Номер 951, страница 190 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Применение различных способов для разложения на множители. § 13. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 951, страница 190.

951. Представьте в виде произведения:

а) у³ − у⁵;
б) 2x − 2x³;

в) 81x² − x⁴;
г) 4у³ − 100у⁵.

а) $y^3 - y^5$

Для того чтобы представить выражение в виде произведения, сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для $y^3$ и $y^5$ является $y$ в наименьшей степени, то есть $y^3$.

$y^3 - y^5 = y^3(1 - y^2)$

Выражение в скобках, $1 - y^2$, является разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 1$ и $b = y$.

$1 - y^2 = 1^2 - y^2 = (1 - y)(1 + y)$

Подставим полученное произведение обратно в исходное выражение:

$y^3(1 - y^2) = y^3(1 - y)(1 + y)$

Ответ: $y^3(1 - y)(1 + y)$

б) $2x - 2x^3$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки.

$2x - 2x^3 = 2x(1 - x^2)$

Выражение в скобках, $1 - x^2$, представляет собой разность квадратов. Используем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 1$ и $b = x$.

$1 - x^2 = 1^2 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$2x(1 - x^2) = 2x(1 - x)(1 + x)$

Ответ: $2x(1 - x)(1 + x)$

в) $81x^2 - x^4$

Найдем общий множитель. Для $81x^2$ и $x^4$ общим множителем является $x^2$.

$81x^2 - x^4 = x^2(81 - x^2)$

Выражение в скобках, $81 - x^2$, является разностью квадратов, так как $81 = 9^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 9$ и $b = x$.

$81 - x^2 = 9^2 - x^2 = (9 - x)(9 + x)$

Подставим это в наше выражение:

$x^2(81 - x^2) = x^2(9 - x)(9 + x)$

Ответ: $x^2(9 - x)(9 + x)$

г) $4y^3 - 100y^5$

Вынесем общий множитель за скобки. Общий делитель для коэффициентов 4 и 100 равен 4. Общий множитель для переменных $y^3$ и $y^5$ равен $y^3$. Таким образом, общий множитель всего выражения — $4y^3$.

$4y^3 - 100y^5 = 4y^3(1 - 25y^2)$

Выражение в скобках, $1 - 25y^2$, является разностью квадратов, так как $1 = 1^2$ и $25y^2 = (5y)^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 1$ и $b = 5y$.

$1 - 25y^2 = 1^2 - (5y)^2 = (1 - 5y)(1 + 5y)$

Запишем окончательный результат:

$4y^3(1 - 25y^2) = 4y^3(1 - 5y)(1 + 5y)$

Ответ: $4y^3(1 - 5y)(1 + 5y)$