номер 956, страница 190 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

956. Разложите на множители выражение х⁶ − у⁶, представив его в виде: а) разности квадратов; б) разности кубов.

а) x⁶ - y⁶ = (x³)² - (y³)² =
= (x³ - y³) (x³ + y³) = (x - y) ×
× (x² + xy + y²) (x + y) (x² - xy + y²);

б) x⁶ - y⁶ = (x²)³ - (y²)³ =
= (x² - y²) (x⁴ + x²y² + y⁴) =
= (x - y) (x + y) (x⁴ + x²y² + y⁴) =
= (x - y) (x + y) ×
× (x⁴ + 2x²y² + y⁴ - x²y²) =
= (x - y) (x + y) ((x² + y²)² - x²y²) =
= (x - y) (x + y) (x² + y² - xy) ×
× (x² + y² + xy).

а) Чтобы разложить выражение $x^6 - y^6$ как разность квадратов, представим его в виде $(x^3)^2 - (y^3)^2$.

Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = x^3$ и $b = y^3$.

Подставляем в формулу:

$(x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$

Теперь у нас есть два множителя: разность кубов ($x^3 - y^3$) и сумма кубов ($x^3 + y^3$). Разложим каждый из них по соответствующим формулам:

Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

Собираем все множители вместе:

$x^6 - y^6 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)(x + y)(x^2 - xy + y^2)$

Для удобства можно сгруппировать множители:

$x^6 - y^6 = (x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

Ответ: $(x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

б) Чтобы разложить выражение $x^6 - y^6$ как разность кубов, представим его в виде $(x^2)^3 - (y^2)^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В нашем случае $a = x^2$ и $b = y^2$.

Подставляем в формулу:

$(x^2)^3 - (y^2)^3 = (x^2 - y^2)((x^2)^2 + x^2y^2 + (y^2)^2) = (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

Теперь разложим на множители каждый из полученных сомножителей.

Первый множитель $x^2 - y^2$ — это разность квадратов:

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Второй множитель $x^4 + x^2y^2 + y^4$ разложим, дополнив его до полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем $x^2y^2$:

$x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - (xy)^2$

Теперь мы получили разность квадратов, которую раскладываем по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(x^2 + y^2)^2 - (xy)^2 = ((x^2 + y^2) - xy)((x^2 + y^2) + xy) = (x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

Собираем все полученные множители вместе:

$x^6 - y^6 = (x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

Ответ: $(x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$