Номер 956, страница 190 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Применение различных способов для разложения на множители. § 13. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 956, страница 190.

956. Разложите на множители выражение х⁶ − у⁵, представив его в виде: а) разности квадратов; б) разности кубов.

а) Чтобы разложить выражение $x^6 - y^6$ как разность квадратов, представим его в виде $(x^3)^2 - (y^3)^2$.

Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = x^3$ и $b = y^3$.

Подставляем в формулу:

$(x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$

Теперь у нас есть два множителя: разность кубов ($x^3 - y^3$) и сумма кубов ($x^3 + y^3$). Разложим каждый из них по соответствующим формулам:

Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

Собираем все множители вместе:

$x^6 - y^6 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)(x + y)(x^2 - xy + y^2)$

Для удобства можно сгруппировать множители:

$x^6 - y^6 = (x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

Ответ: $(x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

б) Чтобы разложить выражение $x^6 - y^6$ как разность кубов, представим его в виде $(x^2)^3 - (y^2)^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В нашем случае $a = x^2$ и $b = y^2$.

Подставляем в формулу:

$(x^2)^3 - (y^2)^3 = (x^2 - y^2)((x^2)^2 + x^2y^2 + (y^2)^2) = (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

Теперь разложим на множители каждый из полученных сомножителей.

Первый множитель $x^2 - y^2$ — это разность квадратов:

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Второй множитель $x^4 + x^2y^2 + y^4$ разложим, дополнив его до полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем $x^2y^2$:

$x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - (xy)^2$

Теперь мы получили разность квадратов, которую раскладываем по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(x^2 + y^2)^2 - (xy)^2 = ((x^2 + y^2) - xy)((x^2 + y^2) + xy) = (x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

Собираем все полученные множители вместе:

$x^6 - y^6 = (x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

Ответ: $(x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$