Номер 961, страница 190 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 38. Применение различных способов для разложения на множители - номер 961, страница 190.

Условие.

961. Разложите на множители:

а) х² + 2ху + у² − m²;
б) р² − а² − 2аb − b²;

в) b² − c² − 8b + 16;
г) 9 − с² + a² − 6a.

Решение 1.

а) х² + 2ху + у² − m² =
= (x + y)² - m² =
= (x + y - m) (x + y + m);

б) р² − а² − 2аb − b² =
= p² - (a² + 2ab + b²) =
= p² - (a + b)² =
= (p - (a + b)) (p + (a + b)) =
= (p - a - b) (p + a + b);

в) b² − c² − 8b + 16 =
= (b² - 8b + 16) - c² =
= (b - 4)² - c² =
= (b - 4 - c) (b - 4 + c);

г) 9 − с² + a² − 6a =
= (a² - 6a + 9) - c² =
= (a - 3)² - c² =
= (a - 3 - c) (a - 3 + c).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^2 + 2xy + y^2 - m^2$

Заметим, что первые три члена $x^2 + 2xy + y^2$ образуют полный квадрат суммы. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

Подставив это в исходное выражение, получим:

$(x+y)^2 - m^2$.

Теперь это выражение представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x+y$ и $b = m$.

$((x+y) - m)((x+y) + m) = (x+y-m)(x+y+m)$.

Ответ: $(x+y-m)(x+y+m)$.

б) $p^2 - a^2 - 2ab - b^2$

Сгруппируем последние три члена и вынесем знак минус за скобки:

$p^2 - (a^2 + 2ab + b^2)$.

Выражение в скобках $a^2 + 2ab + b^2$ является полным квадратом суммы $(a+b)^2$.

Таким образом, выражение преобразуется к виду:

$p^2 - (a+b)^2$.

Это разность квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = p$ и $B = a+b$.

$(p - (a+b))(p + (a+b)) = (p-a-b)(p+a+b)$.

Ответ: $(p-a-b)(p+a+b)$.

в) $b^2 - c^2 - 8b + 16$

Перегруппируем члены выражения, чтобы выделить полный квадрат:

$(b^2 - 8b + 16) - c^2$.

Выражение в скобках $b^2 - 8b + 16$ является полным квадратом разности. Используем формулу $(a-k)^2 = a^2 - 2ak + k^2$. Здесь $a=b$, $k=4$, и $2ak = 2 \cdot b \cdot 4 = 8b$.

$b^2 - 8b + 16 = (b-4)^2$.

Выражение принимает вид:

$(b-4)^2 - c^2$.

Это разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = b-4$ и $b = c$.

$((b-4) - c)((b-4) + c) = (b-c-4)(b+c-4)$.

Ответ: $(b-c-4)(b+c-4)$.

г) $9 - c^2 + a^2 - 6a$

Перегруппируем члены выражения, чтобы выделить полный квадрат:

$(a^2 - 6a + 9) - c^2$.

Выражение в скобках $a^2 - 6a + 9$ является полным квадратом разности. Используем формулу $(x-k)^2 = x^2 - 2xk + k^2$. Здесь $x=a$, $k=3$, и $2xk = 2 \cdot a \cdot 3 = 6a$.

$a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2$.

Выражение принимает вид:

$(a-3)^2 - c^2$.

Это разность квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = a-3$ и $B = c$.

$((a-3) - c)((a-3) + c) = (a-c-3)(a+c-3)$.

Ответ: $(a-c-3)(a+c-3)$.