Номер 968, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Применение различных способов для разложения на множители. § 13. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 968, страница 191.

968. Докажите, что разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на 8.

Чтобы доказать это утверждение, давайте определим два последовательных нечётных числа в общем алгебраическом виде.

Любое нечётное число может быть представлено формулой $2k+1$, где $k$ — это любое целое число.

Пусть первое (меньшее) нечётное число равно $2k+1$.

Тогда следующее за ним (большее) нечётное число будет на 2 больше, то есть его можно записать как $(2k+1) + 2 = 2k+3$.

Теперь нам нужно найти разность их квадратов. По определению, это квадрат большего числа минус квадрат меньшего числа:
$(2k+3)^2 - (2k+1)^2$

Для упрощения этого выражения мы можем использовать формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
В нашем случае, $a = 2k+3$ и $b = 2k+1$.

Применим формулу к нашему выражению:
$(2k+3)^2 - (2k+1)^2 = ((2k+3) - (2k+1)) \cdot ((2k+3) + (2k+1))$

Теперь упростим выражения в каждой из скобок:
1. Первая скобка (разность): $(2k+3) - (2k+1) = 2k+3-2k-1 = 2$.
2. Вторая скобка (сумма): $(2k+3) + (2k+1) = 4k+4$.

Подставим упрощённые значения обратно в произведение:
$2 \cdot (4k+4)$

Во втором множителе можно вынести за скобку общий множитель 4:
$2 \cdot 4(k+1) = 8(k+1)$

Итак, разность квадратов двух последовательных нечётных чисел равна $8(k+1)$.

Поскольку $k$ по нашему определению является целым числом, то и сумма $k+1$ также является целым числом. Произведение числа 8 на любое целое число всегда делится на 8 нацело.

Таким образом, мы доказали, что разность квадратов двух последовательных нечётных чисел всегда делится на 8.

Ответ: Разность квадратов двух последовательных нечётных чисел $(2k+3)$ и $(2k+1)$ равна $(2k+3)^2 - (2k+1)^2 = 8(k+1)$. Поскольку $k$ является целым числом, выражение $8(k+1)$ всегда кратно 8, что и требовалось доказать.