Номер 970, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 38. Применение различных способов для разложения на множители - номер 970, страница 191.

Условие.

970. Упростите выражение и найдите его значение при указанном значении переменной:
а) (6х − 1)(6х + 1) − (12х − 5)(3х + 1) при х = 0,2;
б) (5 + 2х)² − 2,5х(8х + 7) при х = −0,5.

Решение 1.

а) (6х − 1)(6х + 1) −
- (12х − 5)(3х + 1) =
36x² - 1 - (36x² + 12x - 15x - 5) =
= 36x² - 1 - 36x² + 3x + 5 =
= 3x + 4

при х = 0,2
3 ⋅ 0,2 + 4 = 0,6 + 4 = 4,6

б) (5 + 2х)² − 2,5х(8х + 7) =
= 25 + 20x + 4x² - 20x² - 17,5x =
= -16x² + 2,5x + 25

при х = −0,5
-16 ⋅ (-0,5)² + 2,5 ⋅ (-0,5) + 2,5 =
= -16 ⋅ 0,25 - 1,25 + 25 =
= -4 - 1,25 + 25 =
= 21 - 1,25 = 19,75.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Сначала упростим данное выражение $(6x - 1)(6x + 1) - (12x - 5)(3x + 1)$.

1. Первую часть выражения, $(6x - 1)(6x + 1)$, можно упростить, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(6x - 1)(6x + 1) = (6x)^2 - 1^2 = 36x^2 - 1$

2. Вторую часть выражения, $(12x - 5)(3x + 1)$, раскроем путем перемножения скобок:

$(12x - 5)(3x + 1) = 12x \cdot 3x + 12x \cdot 1 - 5 \cdot 3x - 5 \cdot 1 = 36x^2 + 12x - 15x - 5 = 36x^2 - 3x - 5$

3. Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$(36x^2 - 1) - (36x^2 - 3x - 5)$

4. Раскроем скобки, учитывая знак минус перед второй скобкой:

$36x^2 - 1 - 36x^2 + 3x + 5$

5. Приведем подобные слагаемые:

$(36x^2 - 36x^2) + 3x + (-1 + 5) = 0 + 3x + 4 = 3x + 4$

Теперь, когда выражение упрощено до $3x + 4$, найдем его значение при $x = 0,2$:

$3 \cdot 0,2 + 4 = 0,6 + 4 = 4,6$

Ответ: 4,6

б)

Сначала упростим данное выражение $(5 + 2x)^2 - 2,5x(8x + 7)$.

1. Первую часть выражения, $(5 + 2x)^2$, раскроем по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(5 + 2x)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 2x + (2x)^2 = 25 + 20x + 4x^2$

2. Вторую часть выражения, $-2,5x(8x + 7)$, раскроем, умножив $-2,5x$ на каждый член в скобках:

$-2,5x(8x + 7) = -2,5x \cdot 8x - 2,5x \cdot 7 = -20x^2 - 17,5x$

3. Теперь объединим обе части:

$(25 + 20x + 4x^2) + (-20x^2 - 17,5x) = 25 + 20x + 4x^2 - 20x^2 - 17,5x$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - 20x^2) + (20x - 17,5x) + 25 = -16x^2 + 2,5x + 25$

Теперь, когда выражение упрощено до $-16x^2 + 2,5x + 25$, найдем его значение при $x = -0,5$:

$-16(-0,5)^2 + 2,5(-0,5) + 25 = -16(0,25) - 1,25 + 25 = -4 - 1,25 + 25 = 19,75$

Ответ: 19,75