Номер 2, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. Контрольные вопросы и задания - номер 2, страница 192.

Условие.

2 Какие действия надо выполнить и в каком порядке, чтобы представить целое выражение 4х(2 − х)² + (х² − 4)(х + 4) в виде многочлена?

Решение 1.

4х(2 − х)² + (х² − 4)(х + 4) =
= 5x³ - 12x² + 12x - 16

Возведение многочлена в степень:
(2 - x)² = 4 - 4x + x²;

Умножение одночлена на многочлен:
4x(4 - 4x + x²) =
= 16x - 16x² + 4x³;

Умножение многочлена на многочлен:
(x² - 4) (x + 4) =
= x³ + 4x² - 4x - 16;

Сложение многочленов:
(16x - 16x² + 4x³) +
+ (x³ + 4x² - 4x - 16) =
= 16x - 16x² + 4x³ + x³ + 4x² -
- 4x - 16 = 5x³ - 12x² + 12x - 16.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы представить целое выражение $4x(2 - x)? + (x? - 4)(x + 4)$ в виде многочлена, необходимо выполнить следующие действия в указанном порядке:

1. Преобразовать первое слагаемое $4x(2 - x)?$.
Сначала нужно возвести в квадрат двучлен $(2 - x)$, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a - b)? = a? - 2ab + b?$. Затем полученный в результате многочлен (трёхчлен) следует умножить на одночлен $4x$.

2. Преобразовать второе слагаемое $(x? - 4)(x + 4)$.
Здесь необходимо выполнить умножение многочлена $(x? - 4)$ на многочлен $(x + 4)$, последовательно умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго.

3. Сложить полученные многочлены и привести подобные слагаемые.
Результаты, полученные после выполнения первых двух действий, нужно сложить. В итоговой сумме следует найти и сгруппировать подобные слагаемые (члены с одинаковой степенью переменной) и выполнить их сложение, чтобы получить многочлен в стандартном виде.

Теперь выполним эти действия на практике:

1) Выполним преобразование первого слагаемого:
$4x(2 - x)? = 4x(2? - 2 \cdot 2 \cdot x + x?) = 4x(4 - 4x + x?) = 4x \cdot 4 - 4x \cdot 4x + 4x \cdot x? = 16x - 16x? + 4x?$.

2) Выполним преобразование второго слагаемого:
$(x? - 4)(x + 4) = x? \cdot x + x? \cdot 4 - 4 \cdot x - 4 \cdot 4 = x? + 4x? - 4x - 16$.

3) Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:
$(16x - 16x? + 4x?) + (x? + 4x? - 4x - 16) = $
$= (4x? + x?) + (-16x? + 4x?) + (16x - 4x) - 16 = $
$= 5x? - 12x? + 12x - 16$.

Ответ: Для преобразования выражения в многочлен нужно: сначала в первом слагаемом раскрыть скобки, применив формулу квадрата разности, и умножить результат на $4x$; затем во втором слагаемом перемножить многочлены; и наконец, сложить полученные выражения и привести подобные слагаемые. В результате получается многочлен $5x? - 12x? + 12x - 16$.