Номер 978, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Возведение двучлена в степень. § 13. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 978, страница 195.

978. Представьте в виде многочлена выражение:
а) (х + у)⁶ + (х − у)⁶; б) (х + у)⁶ − (х − у)⁶.

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу бинома Ньютона для разложения выражений $(x+y)^6$ и $(x-y)^6$. Формула бинома Ньютона выглядит так:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

Для степени $n=6$ ряд биномиальных коэффициентов ($C_6^0, C_6^1, ..., C_6^6$) следующий: $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$.

Используя эти коэффициенты, разложим $(x+y)^6$:

$(x+y)^6 = 1 \cdot x^6y^0 + 6 \cdot x^5y^1 + 15 \cdot x^4y^2 + 20 \cdot x^3y^3 + 15 \cdot x^2y^4 + 6 \cdot x^1y^5 + 1 \cdot x^0y^6$

$(x+y)^6 = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6$

Теперь разложим $(x-y)^6$, что эквивалентно $(x+(-y))^6$. Знаки при членах с нечетной степенью $y$ будут отрицательными:

$(x-y)^6 = x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6$

Теперь, имея эти два разложения, мы можем решить оба пункта задачи.

а) $(x+y)^6 + (x-y)^6$

Сложим полученные многочлены:

$(x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6) + (x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6)$

При сложении члены с нечетными степенями $y$ взаимно уничтожаются:

$(x^6+x^6) + (6x^5y-6x^5y) + (15x^4y^2+15x^4y^2) + (20x^3y^3-20x^3y^3) + (15x^2y^4+15x^2y^4) + (6xy^5-6xy^5) + (y^6+y^6)$

$= 2x^6 + 30x^4y^2 + 30x^2y^4 + 2y^6$

Ответ: $2x^6 + 30x^4y^2 + 30x^2y^4 + 2y^6$

б) $(x+y)^6 - (x-y)^6$

Вычтем второй многочлен из первого:

$(x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6) - (x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6)$

Раскроем скобки, изменив знаки у членов второго многочлена на противоположные:

$x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6 - x^6 + 6x^5y - 15x^4y^2 + 20x^3y^3 - 15x^2y^4 + 6xy^5 - y^6$

При вычитании члены с четными степенями $y$ взаимно уничтожаются:

$(x^6-x^6) + (6x^5y+6x^5y) + (15x^4y^2-15x^4y^2) + (20x^3y^3+20x^3y^3) + (15x^2y^4-15x^2y^4) + (6xy^5+6xy^5) + (y^6-y^6)$

$= 12x^5y + 40x^3y^3 + 12xy^5$

Ответ: $12x^5y + 40x^3y^3 + 12xy^5$