Номер 979, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Возведение двучлена в степень. § 13. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 979, страница 195.

979. Выражение (1 + у)³ + (1 + у)⁴ + (1 + у)⁵ заменили тождественно равным многочленом. Найдите коэффициент члена многочлена, содержащего: a) у²; б) у³.

Чтобы найти коэффициент члена многочлена, содержащего определенную степень y, нужно найти коэффициенты при этой степени в каждом из слагаемых $(1 + y)^3$, $(1 + y)^4$ и $(1 + y)^5$, а затем сложить их.

Для нахождения коэффициентов в разложении степени двучлена (бинома) воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — это биномиальный коэффициент.

В нашем случае $a=1$ и $b=y$, поэтому формула для каждого слагаемого имеет вид:

$(1+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k 1^{n-k} y^k = \sum_{k=0}^{n} C_n^k y^k$.

Это означает, что коэффициент при члене, содержащем $y^k$, в разложении $(1+y)^n$ равен $C_n^k$.

а) Найдем коэффициент при $y^2$.

Коэффициент при $y^2$ в итоговом многочлене будет равен сумме коэффициентов при $y^2$ в разложениях каждого из трех слагаемых.

1. В разложении $(1+y)^3$ коэффициент при $y^2$ (здесь $n=3$, $k=2$) равен $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = 3$.

2. В разложении $(1+y)^4$ коэффициент при $y^2$ (здесь $n=4$, $k=2$) равен $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.

3. В разложении $(1+y)^5$ коэффициент при $y^2$ (здесь $n=5$, $k=2$) равен $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.

Складываем найденные коэффициенты:

$3 + 6 + 10 = 19$.

Ответ: 19.

б) Найдем коэффициент при $y^3$.

Коэффициент при $y^3$ в итоговом многочлене будет равен сумме коэффициентов при $y^3$ в разложениях каждого из трех слагаемых.

1. В разложении $(1+y)^3$ коэффициент при $y^3$ (здесь $n=3$, $k=3$) равен $C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$.

2. В разложении $(1+y)^4$ коэффициент при $y^3$ (здесь $n=4$, $k=3$) равен $C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = 4$.

3. В разложении $(1+y)^5$ коэффициент при $y^3$ (здесь $n=5$, $k=3$) равен $C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.

Складываем найденные коэффициенты:

$1 + 4 + 10 = 15$.

Ответ: 15.