Номер 982, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 11 - номер 982, страница 195.

Условие.

982. Докажите тождество (а + b + с)² = а² + b² + с² + 2аb + 2ас + 2bс.

Решение 1.

(а + b + с)² = ((a + b) + c)² =
= (a + b)² + 2(a + b)c + c² =
= a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c² =
= а² + b² + с² + 2аb + 2ас + 2bс.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать тождество, необходимо показать, что его левая и правая части равны при любых значениях переменных $a$, $b$ и $c$. Для этого преобразуем левую часть равенства, используя определение степени и правила умножения многочленов.

Левая часть тождества представляет собой квадрат суммы трех слагаемых $(a + b + c)^2$. По определению степени, это выражение равно произведению $(a + b + c)$ на само себя:

$(a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c)$

Теперь раскроем скобки, последовательно умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена (правило "каждый на каждый"):

$(a + b + c)(a + b + c) = a \cdot (a + b + c) + b \cdot (a + b + c) + c \cdot (a + b + c)$

Выполним умножение:

$(a \cdot a + a \cdot b + a \cdot c) + (b \cdot a + b \cdot b + b \cdot c) + (c \cdot a + c \cdot b + c \cdot c)$

В результате получаем:

$a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые. Сначала запишем квадраты каждого слагаемого, а затем попарные произведения. Учтем, что умножение коммутативно, то есть $ab = ba$, $ac = ca$ и $bc = cb$.

$a^2 + b^2 + c^2 + (ab + ba) + (ac + ca) + (bc + cb)$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

В результате преобразования левой части мы получили выражение, в точности совпадающее с правой частью исходного равенства.

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$ доказано путем преобразования его левой части к виду правой части.