Номер 989, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 989, страница 196.

989. Упростите выражение:

а)

Для упрощения выражения $(a + 2)(a - 2) - a(a - 5)$ воспользуемся формулой разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ для первого слагаемого и раскроем скобки во втором слагаемом.
$(a + 2)(a - 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$.
Далее раскроем вторую часть выражения:
$-a(a - 5) = -a \cdot a - a \cdot (-5) = -a^2 + 5a$.
Теперь сложим полученные выражения:
$(a^2 - 4) + (-a^2 + 5a) = a^2 - 4 - a^2 + 5a$.
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + 5a - 4 = 5a - 4$.
Ответ: $5a - 4$.

б)

Упростим выражение $(a - 3)(3 + a) + a(7 - a)$.
Первое слагаемое можно преобразовать, используя формулу разности квадратов, предварительно поменяв местами слагаемые во второй скобке: $(a - 3)(a + 3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$.
Раскроем скобки во втором слагаемом: $a(7 - a) = 7a - a^2$.
Сложим результаты:
$(a^2 - 9) + (7a - a^2) = a^2 - 9 + 7a - a^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + 7a - 9 = 7a - 9$.
Ответ: $7a - 9$.

в)

Упростим выражение $(b - 4)(b + 4) - (b - 3)(b + 5)$.
Первое произведение является разностью квадратов: $(b - 4)(b + 4) = b^2 - 4^2 = b^2 - 16$.
Второе произведение раскроем по правилу умножения многочленов:
$(b - 3)(b + 5) = b \cdot b + b \cdot 5 - 3 \cdot b - 3 \cdot 5 = b^2 + 5b - 3b - 15 = b^2 + 2b - 15$.
Теперь вычтем второе выражение из первого, раскрыв скобки с учётом знака "минус":
$(b^2 - 16) - (b^2 + 2b - 15) = b^2 - 16 - b^2 - 2b + 15$.
Приведем подобные слагаемые:
$(b^2 - b^2) - 2b + (-16 + 15) = -2b - 1$.
Ответ: $-2b - 1$.

г)

Упростим выражение $(b + 8)(b - 6) - (b - 7)(b + 7)$.
Раскроем скобки в первом произведении:
$(b + 8)(b - 6) = b^2 - 6b + 8b - 48 = b^2 + 2b - 48$.
Второе произведение является разностью квадратов: $(b - 7)(b + 7) = b^2 - 7^2 = b^2 - 49$.
Вычтем второе выражение из первого:
$(b^2 + 2b - 48) - (b^2 - 49) = b^2 + 2b - 48 - b^2 + 49$.
Приведем подобные слагаемые:
$(b^2 - b^2) + 2b + (-48 + 49) = 2b + 1$.
Ответ: $2b + 1$.

д)

Упростим выражение $(c - 1)(c + 1) + (c - 9)(c + 9)$.
Оба произведения являются разностями квадратов.
$(c - 1)(c + 1) = c^2 - 1^2 = c^2 - 1$.
$(c - 9)(c + 9) = c^2 - 9^2 = c^2 - 81$.
Сложим полученные выражения:
$(c^2 - 1) + (c^2 - 81) = c^2 - 1 + c^2 - 81$.
Приведем подобные слагаемые:
$(c^2 + c^2) + (-1 - 81) = 2c^2 - 82$.
Ответ: $2c^2 - 82$.

е)

Упростим выражение $(5 + c)(c - 5) - (c - 10)(c + 10)$.
Преобразуем первое произведение, чтобы использовать формулу разности квадратов: $(c + 5)(c - 5) = c^2 - 5^2 = c^2 - 25$.
Второе произведение также является разностью квадратов: $(c - 10)(c + 10) = c^2 - 10^2 = c^2 - 100$.
Вычтем второе выражение из первого:
$(c^2 - 25) - (c^2 - 100) = c^2 - 25 - c^2 + 100$.
Приведем подобные слагаемые:
$(c^2 - c^2) + (-25 + 100) = 75$.
Ответ: $75$.