Номер 996, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 12 - номер 996, страница 196.

Условие.

996. Найдите значение выражения:

$\mathrm{а}) \frac{{ 38}^2 - {17}^2}{{72}^2 - {16}^2};$

$\mathrm{б}) \frac{39,5^2 - 3,5^2}{57,5^2 - 14,5^2};$

$\mathrm{в}) \frac{17,5^2 - 9,5^2}{131,5^2 - 3,5^2}.$

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \frac{{38}^2-{17}^2}{{72}^2-{16}^2}=\frac{(38-17) (38+17)}{(72-16) (72+16)}=$

$=\frac{21·55}{56·88}=\frac{3·5}{8·8}=\frac{15}{64};$

$\mathbf{б}\mathbf{)} \frac{39,5^2-3,5^2}{57,5^2-14,5^2}=$

$=\frac{(39,5-3,5) (39,5+3,5)}{(57,5-14,5) (57,5+14,5)} =$

$=\frac{36·43}{43·72}=\frac{1}{2};$

$\mathbf{в}\mathbf{)} \frac{17,5^2-9,5^2}{131,5^2-3,5^2}=$

$=\frac{\left(17,5-9,5\right) \left(17,5+9,5\right)}{(131,5-3,5) (131,5+3,5)}=$

$=\frac{8·27}{128·135}=\frac{1·1}{16·5}=\frac{1}{80}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для нахождения значения выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Применим эту формулу к числителю и знаменателю дроби.
Числитель: $38^2 - 17^2 = (38 - 17)(38 + 17) = 21 \cdot 55$.
Знаменатель: $72^2 - 16^2 = (72 - 16)(72 + 16) = 56 \cdot 88$.
Получаем дробь:
$\frac{21 \cdot 55}{56 \cdot 88}$
Теперь сократим полученную дробь. Можно сократить 21 и 56 на 7, а 55 и 88 на 11.
$\frac{21 \cdot 55}{56 \cdot 88} = \frac{(3 \cdot 7) \cdot (5 \cdot 11)}{(8 \cdot 7) \cdot (8 \cdot 11)} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 8} = \frac{15}{64}$.
Ответ: $\frac{15}{64}$

б) Аналогично предыдущему пункту, применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Числитель: $39,5^2 - 3,5^2 = (39,5 - 3,5)(39,5 + 3,5) = 36 \cdot 43$.
Знаменатель: $57,5^2 - 14,5^2 = (57,5 - 14,5)(57,5 + 14,5) = 43 \cdot 72$.
Подставим полученные значения в дробь:
$\frac{36 \cdot 43}{43 \cdot 72}$
Сокращаем дробь на общий множитель 43, а затем на 36:
$\frac{36}{72} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Снова используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Числитель: $17,5^2 - 9,5^2 = (17,5 - 9,5)(17,5 + 9,5) = 8 \cdot 27$.
Знаменатель: $131,5^2 - 3,5^2 = (131,5 - 3,5)(131,5 + 3,5) = 128 \cdot 135$.
Получаем выражение:
$\frac{8 \cdot 27}{128 \cdot 135}$
Сократим дробь. Можно сократить 8 и 128 на 8. Также можно сократить 27 и 135 на 27 ($135 = 5 \cdot 27$).
$\frac{8 \cdot 27}{128 \cdot 135} = \frac{8 \cdot 27}{(16 \cdot 8) \cdot (5 \cdot 27)} = \frac{1}{16 \cdot 5} = \frac{1}{80}$.
Ответ: $\frac{1}{80}$