Номер 1003, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 12 - номер 1003, страница 197.

Условие.

1003. Представьте в виде произведения:
а) 2764 − у¹²; б) −х¹⁵ + 127; в) 338а¹⁵ + b¹²; г) 16164x¹⁸ + y³.

Решение 1.

$\mathbf{а}\mathbf{)} \frac{27}{64}-{\mathrm{y}}^{12}={\left(\frac{3}{4}\right)}^3-{\left({\mathrm{y}}^4\right)}^3=$

$=\left(\frac{3}{4}-{\mathrm{y}}^4\right) \left(\frac{9}{16}+\frac{3}{4}{\mathrm{y}}^4+{\mathrm{y}}^8\right);$

$\mathbf{б}\mathbf{)} -{\mathrm{x}}^{15}+\frac{1}{27}={\left(\frac{1}{3}\right)}^3-{\left({\mathrm{x}}^5\right)}^3=$

$=\left(\frac{1}{3}-{\mathrm{x}}^5\right) \left(\frac{1}{9}+\frac{1}{3}{\mathrm{x}}^5+{\mathrm{x}}^{10}\right);$

$\mathbf{в}\mathbf{)} 3\frac{3}{8}{\mathrm{a}}^{15}+{\mathrm{b}}^{12}=\frac{27}{8}{\mathrm{a}}^{15}+{\mathrm{b}}^{12}=$

$={\left(\frac{3}{2}{\mathrm{a}}^5\right)}^3+{\left({\mathrm{b}}^4\right)}^3=$

$=\left(\frac{2}{3}{\mathrm{a}}^5+{\mathrm{b}}^4\right) \left(\frac{9}{4}{\mathrm{a}}^{10}-\frac{3}{2}{\mathrm{a}}^5{\mathrm{b}}^4+{\mathrm{b}}^8\right)=$

$=\left(1,5{\mathrm{a}}^5+{\mathrm{b}}^4\right) \left(2,25{\mathrm{a}}^{10}-1,5{\mathrm{a}}^5{\mathrm{b}}^4+{\mathrm{b}}^8\right);$

$\mathbf{г}\mathbf{)} 1\frac{61}{64}{\mathrm{x}}^{18}+{\mathrm{y}}^3=\frac{125}{64}{\mathrm{x}}^{18}+{\mathrm{y}}^3=$

$={\left(\frac{5}{4}{\mathrm{x}}^6\right)}^3+{\mathrm{y}}^3=\left(\frac{5}{4}{\mathrm{x}}^6+\mathrm{y}\right)\times$

$\times \left(\frac{25}{16}{\mathrm{x}}^{12}-\frac{5}{4}{\mathrm{x}}^6\mathrm{y}+{\mathrm{y}}^2\right)=$

$=\left(1\frac{1}{4}{\mathrm{x}}^6+\mathrm{y}\right) \left(1\frac{9}{16}{\mathrm{x}}^{12}-1\frac{1}{4}{\mathrm{x}}^6\mathrm{y}+{\mathrm{y}}^2\right).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы представить выражение $\frac{27}{64} - y^{12}$ в виде произведения, воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

Сначала представим каждый член выражения в виде куба:

Первый член: $\frac{27}{64} = \frac{3^3}{4^3} = (\frac{3}{4})^3$.

Второй член: $y^{12} = y^{4 \cdot 3} = (y^4)^3$.

Теперь исходное выражение имеет вид $(\frac{3}{4})^3 - (y^4)^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = \frac{3}{4}$ и $b = y^4$:

$(\frac{3}{4} - y^4)((\frac{3}{4})^2 + \frac{3}{4} \cdot y^4 + (y^4)^2) = (\frac{3}{4} - y^4)(\frac{9}{16} + \frac{3}{4}y^4 + y^8)$.

Ответ: $(\frac{3}{4} - y^4)(\frac{9}{16} + \frac{3}{4}y^4 + y^8)$.

б)

Перепишем выражение $-x^{15} + \frac{1}{27}$ в более удобном виде: $\frac{1}{27} - x^{15}$.

Это выражение можно разложить на множители по формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

Первый член: $\frac{1}{27} = \frac{1^3}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$.

Второй член: $x^{15} = x^{5 \cdot 3} = (x^5)^3$.

Теперь исходное выражение имеет вид $(\frac{1}{3})^3 - (x^5)^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = \frac{1}{3}$ и $b = x^5$:

$(\frac{1}{3} - x^5)((\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} \cdot x^5 + (x^5)^2) = (\frac{1}{3} - x^5)(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}x^5 + x^{10})$.

Ответ: $(\frac{1}{3} - x^5)(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}x^5 + x^{10})$.

в)

Для разложения выражения $3\frac{3}{8}a^{15} + b^{12}$ на множители сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.

Теперь выражение имеет вид $\frac{27}{8}a^{15} + b^{12}$.

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

Первый член: $\frac{27}{8}a^{15} = (\frac{3}{2})^3 \cdot (a^5)^3 = (\frac{3}{2}a^5)^3$.

Второй член: $b^{12} = b^{4 \cdot 3} = (b^4)^3$.

Исходное выражение можно записать как $(\frac{3}{2}a^5)^3 + (b^4)^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a = \frac{3}{2}a^5$ и $b = b^4$:

$(\frac{3}{2}a^5 + b^4)((\frac{3}{2}a^5)^2 - \frac{3}{2}a^5 \cdot b^4 + (b^4)^2) = (\frac{3}{2}a^5 + b^4)(\frac{9}{4}a^{10} - \frac{3}{2}a^5b^4 + b^8)$.

Ответ: $(\frac{3}{2}a^5 + b^4)(\frac{9}{4}a^{10} - \frac{3}{2}a^5b^4 + b^8)$.

г)

Чтобы представить выражение $1\frac{61}{64}x^{18} + y^3$ в виде произведения, преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{61}{64} = \frac{1 \cdot 64 + 61}{64} = \frac{125}{64}$.

Теперь выражение имеет вид $\frac{125}{64}x^{18} + y^3$.

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

Первый член: $\frac{125}{64}x^{18} = \frac{5^3}{4^3} \cdot (x^6)^3 = (\frac{5}{4}x^6)^3$.

Второй член: $y^3 = (y)^3$.

Исходное выражение можно записать как $(\frac{5}{4}x^6)^3 + y^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a = \frac{5}{4}x^6$ и $b = y$:

$(\frac{5}{4}x^6 + y)((\frac{5}{4}x^6)^2 - \frac{5}{4}x^6 \cdot y + y^2) = (\frac{5}{4}x^6 + y)(\frac{25}{16}x^{12} - \frac{5}{4}x^6y + y^2)$.

Ответ: $(\frac{5}{4}x^6 + y)(\frac{25}{16}x^{12} - \frac{5}{4}x^6y + y^2)$.