Страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

998. Разложите на множители:

Для разложения на множители во всех примерах используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

а) $(x - 5)^2 - 16$

Представим выражение в виде разности квадратов. В данном случае $a = x - 5$ и $b = \sqrt{16} = 4$.
Применяем формулу разности квадратов:
$(x - 5)^2 - 4^2 = ((x - 5) - 4)((x - 5) + 4)$.
Упрощаем выражения в скобках:
$(x - 5 - 4)(x - 5 + 4) = (x - 9)(x - 1)$.
Ответ: $(x - 9)(x - 1)$.

б) $(b + 7)^2 - 9$

Представим выражение в виде разности квадратов. Здесь $a = b + 7$ и $b = \sqrt{9} = 3$.
Применяем формулу:
$(b + 7)^2 - 3^2 = ((b + 7) - 3)((b + 7) + 3)$.
Упрощаем выражения в скобках:
$(b + 7 - 3)(b + 7 + 3) = (b + 4)(b + 10)$.
Ответ: $(b + 4)(b + 10)$.

в) $25 - (3 - x)^2$

Представим выражение в виде разности квадратов. Здесь $a = \sqrt{25} = 5$ и $b = 3 - x$.
Применяем формулу:
$5^2 - (3 - x)^2 = (5 - (3 - x))(5 + (3 - x))$.
Упрощаем выражения в скобках, обращая внимание на знаки:
$(5 - 3 + x)(5 + 3 - x) = (2 + x)(8 - x)$.
Ответ: $(x + 2)(8 - x)$.

г) $81 - (a + 7)^2$

Представим выражение в виде разности квадратов. Здесь $a = \sqrt{81} = 9$ и $b = a + 7$.
Применяем формулу:
$9^2 - (a + 7)^2 = (9 - (a + 7))(9 + (a + 7))$.
Упрощаем выражения в скобках:
$(9 - a - 7)(9 + a + 7) = (2 - a)(16 + a)$.
Ответ: $(2 - a)(a + 16)$.

д) $(7x - 4)^2 - (2x + 1)^2$

Это готовая разность квадратов, где $a = 7x - 4$ и $b = 2x + 1$.
Применяем формулу:
$((7x - 4) - (2x + 1))((7x - 4) + (2x + 1))$.
Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:
$(7x - 4 - 2x - 1)(7x - 4 + 2x + 1) = (5x - 5)(9x - 3)$.
Выносим общие множители из каждой скобки для полного разложения:
$5(x - 1) \cdot 3(3x - 1) = 15(x - 1)(3x - 1)$.
Ответ: $15(x - 1)(3x - 1)$.

е) $(n - 2)^2 - (3n + 1)^2$

Это разность квадратов, где $a = n - 2$ и $b = 3n + 1$.
Применяем формулу:
$((n - 2) - (3n + 1))((n - 2) + (3n + 1))$.
Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:
$(n - 2 - 3n - 1)(n - 2 + 3n + 1) = (-2n - 3)(4n - 1)$.
Можно вынести $-1$ из первой скобки для более аккуратного вида:
$-(2n + 3)(4n - 1)$.
Ответ: $-(2n + 3)(4n - 1)$.

ж) $9(a + 1)^2 - 1$

Представим выражение в виде разности квадратов: $9(a + 1)^2 = (3(a+1))^2$.
Тогда выражение принимает вид $(3(a + 1))^2 - 1^2$.
Здесь $a = 3(a + 1) = 3a + 3$ и $b = 1$.
Применяем формулу:
$((3a + 3) - 1)((3a + 3) + 1)$.
Упрощаем выражения в скобках:
$(3a + 2)(3a + 4)$.
Ответ: $(3a + 2)(3a + 4)$.

з) $4 - 25(x - 3)^2$

Представим выражение в виде разности квадратов: $25(x - 3)^2 = (5(x - 3))^2$.
Тогда выражение принимает вид $2^2 - (5(x - 3))^2$.
Здесь $a = 2$ и $b = 5(x - 3) = 5x - 15$.
Применяем формулу:
$(2 - (5x - 15))(2 + (5x - 15))$.
Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:
$(2 - 5x + 15)(2 + 5x - 15) = (17 - 5x)(5x - 13)$.
Ответ: $(17 - 5x)(5x - 13)$.

999. Преобразуйте в произведение:

Для решения всех пунктов данной задачи используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) $16 - 9(p + 3)^2$

Представим исходное выражение в виде разности квадратов.
Первый член: $16 = 4^2$.
Второй член: $9(p + 3)^2 = 3^2 \cdot (p + 3)^2 = (3(p + 3))^2$.
Таким образом, наше выражение принимает вид: $4^2 - (3(p + 3))^2$.
Применим формулу разности квадратов, где $a = 4$ и $b = 3(p+3)$:
$(4 - 3(p + 3))(4 + 3(p + 3))$
Теперь упростим выражения в каждой из скобок, раскрыв внутренние скобки:
Первая скобка: $4 - 3(p + 3) = 4 - 3p - 9 = -3p - 5$.
Вторая скобка: $4 + 3(p + 3) = 4 + 3p + 9 = 3p + 13$.
В итоге получаем искомое произведение: $(-3p - 5)(3p + 13)$.
Ответ: $(-3p - 5)(3p + 13)$.

б) $9 - 25(4 - x)^2$

Представим выражение в виде разности квадратов.
Первый член: $9 = 3^2$.
Второй член: $25(4 - x)^2 = 5^2 \cdot (4 - x)^2 = (5(4 - x))^2$.
Выражение принимает вид: $3^2 - (5(4 - x))^2$.
Применим формулу, где $a = 3$ и $b = 5(4 - x)$:
$(3 - 5(4 - x))(3 + 5(4 - x))$
Упростим выражения в скобках:
Первая скобка: $3 - 5(4 - x) = 3 - 20 + 5x = 5x - 17$.
Вторая скобка: $3 + 5(4 - x) = 3 + 20 - 5x = 23 - 5x$.
В итоге получаем произведение: $(5x - 17)(23 - 5x)$.
Ответ: $(5x - 17)(23 - 5x)$.

в) $1 - 36(3y - 1)^2$

Представим выражение в виде разности квадратов.
Первый член: $1 = 1^2$.
Второй член: $36(3y - 1)^2 = 6^2 \cdot (3y - 1)^2 = (6(3y - 1))^2$.
Выражение принимает вид: $1^2 - (6(3y - 1))^2$.
Применим формулу, где $a = 1$ и $b = 6(3y - 1)$:
$(1 - 6(3y - 1))(1 + 6(3y - 1))$
Упростим выражения в скобках:
Первая скобка: $1 - 6(3y - 1) = 1 - 18y + 6 = 7 - 18y$.
Вторая скобка: $1 + 6(3y - 1) = 1 + 18y - 6 = 18y - 5$.
В итоге получаем произведение: $(7 - 18y)(18y - 5)$.
Ответ: $(7 - 18y)(18y - 5)$.

г) $4 - 9(a + b)^2$

Представим выражение в виде разности квадратов.
Первый член: $4 = 2^2$.
Второй член: $9(a + b)^2 = 3^2 \cdot (a + b)^2 = (3(a + b))^2$.
Выражение принимает вид: $2^2 - (3(a + b))^2$.
Применим формулу, где $a = 2$ и $b = 3(a + b)$:
$(2 - 3(a + b))(2 + 3(a + b))$
Упростим выражения в скобках:
Первая скобка: $2 - 3(a + b) = 2 - 3a - 3b$.
Вторая скобка: $2 + 3(a + b) = 2 + 3a + 3b$.
В итоге получаем произведение: $(2 - 3a - 3b)(2 + 3a + 3b)$.
Ответ: $(2 - 3a - 3b)(2 + 3a + 3b)$.

1000. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения:
а) (n + 1)² − (n − 1)² делится на 4;
б) (2n + 3)² − (2n − 1)² делится на 8;
в) (3n + 1)² − (3n − 1)² делится на 12;
г) (5n + 1)² − (2n − 1)² делится на 7.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $(n + 1)^2 - (n - 1)^2$ делится на 4 при любом натуральном $n$, воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Преобразуем данное выражение:
$(n + 1)^2 - (n - 1)^2 = ((n + 1) - (n - 1))((n + 1) + (n - 1)) = (n + 1 - n + 1)(n + 1 + n - 1) = (2)(2n) = 4n$.
Поскольку $n$ — натуральное число, произведение $4n$ всегда является целым числом, кратным 4. Следовательно, выражение делится на 4.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $(2n + 3)^2 - (2n - 1)^2$ делится на 8 при любом натуральном $n$, также применим формулу разности квадратов.
Преобразуем выражение:
$(2n + 3)^2 - (2n - 1)^2 = ((2n + 3) - (2n - 1))((2n + 3) + (2n - 1)) = (2n + 3 - 2n + 1)(2n + 3 + 2n - 1) = (4)(4n + 2)$.
Вынесем общий множитель 2 из второй скобки: $4 \cdot 2(2n + 1) = 8(2n + 1)$.
Так как $n$ — натуральное число, $2n + 1$ также является целым числом. Следовательно, выражение $8(2n + 1)$, имея множитель 8, всегда делится на 8.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Докажем, что значение выражения $(3n + 1)^2 - (3n - 1)^2$ делится на 12 при любом натуральном $n$, используя формулу разности квадратов.
Преобразуем выражение:
$(3n + 1)^2 - (3n - 1)^2 = ((3n + 1) - (3n - 1))((3n + 1) + (3n - 1)) = (3n + 1 - 3n + 1)(3n + 1 + 3n - 1) = (2)(6n) = 12n$.
Поскольку $n$ — натуральное число, произведение $12n$ всегда является целым числом, кратным 12. Таким образом, выражение делится на 12.
Ответ: Что и требовалось доказать.

г) Докажем, что значение выражения $(5n + 1)^2 - (2n - 1)^2$ делится на 7 при любом натуральном $n$. Воспользуемся формулой разности квадратов.
Преобразуем выражение:
$(5n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = ((5n + 1) - (2n - 1))((5n + 1) + (2n - 1)) = (5n + 1 - 2n + 1)(5n + 1 + 2n - 1) = (3n + 2)(7n)$.
Полученное выражение $7n(3n + 2)$ содержит множитель 7. Так как $n$ — натуральное число, то $n(3n + 2)$ является целым числом. Следовательно, все выражение делится на 7.
Ответ: Что и требовалось доказать.

1001. Найдите значение выражения:
а) (3а − 2b)² − (2а − b)² при а = 1,35 и b = −0,65;
б) (2у − с)² + (у + 2с)² при с = 1,2 и у = −1,4.

а)

Для нахождения значения выражения $(3a - 2b)^2 - (2a - b)^2$ при $a = 1,35$ и $b = -0,65$ сначала упростим его, используя формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$.

Пусть $X = 3a - 2b$ и $Y = 2a - b$. Тогда:

$(3a - 2b)^2 - (2a - b)^2 = ((3a - 2b) - (2a - b))((3a - 2b) + (2a - b))$

Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые в каждой из групп:

$(3a - 2b - 2a + b)(3a - 2b + 2a - b) = (a - b)(5a - 3b)$

Теперь подставим заданные значения $a = 1,35$ и $b = -0,65$ в упрощенное выражение:

$(1,35 - (-0,65))(5 \cdot 1,35 - 3 \cdot (-0,65)) = (1,35 + 0,65)(6,75 + 1,95)$

Выполним вычисления:

$2 \cdot 8,7 = 17,4$

Ответ: $17,4$

б)

Для нахождения значения выражения $(2y - c)^2 + (y + 2c)^2$ при $c = 1,2$ и $y = -1,4$ сначала упростим его, раскрыв скобки по формулам квадрата разности и квадрата суммы.

$(2y - c)^2 = (2y)^2 - 2 \cdot 2y \cdot c + c^2 = 4y^2 - 4yc + c^2$

$(y + 2c)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 2c + (2c)^2 = y^2 + 4yc + 4c^2$

Теперь сложим полученные многочлены:

$(4y^2 - 4yc + c^2) + (y^2 + 4yc + 4c^2) = 4y^2 + y^2 - 4yc + 4yc + c^2 + 4c^2 = 5y^2 + 5c^2$

Получили упрощенное выражение $5y^2 + 5c^2$, которое можно записать как $5(y^2 + c^2)$.

Подставим заданные значения $c = 1,2$ и $y = -1,4$:

$5 \cdot ((-1,4)^2 + (1,2)^2) = 5 \cdot (1,96 + 1,44) = 5 \cdot 3,4$

Выполним вычисление:

$5 \cdot 3,4 = 17$

Ответ: $17$

1002. Разложите на множители:

а) Для разложения выражения $0,027x^3 + 1$ на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Сначала представим каждое слагаемое в виде куба:
$0,027x^3 = (0,3x)^3$
$1 = 1^3$
Таким образом, в нашем выражении $a = 0,3x$ и $b = 1$.
Теперь подставим эти значения в формулу суммы кубов:
$0,027x^3 + 1 = (0,3x)^3 + 1^3 = (0,3x + 1)((0,3x)^2 - 0,3x \cdot 1 + 1^2) = (0,3x + 1)(0,09x^2 - 0,3x + 1)$.
Ответ: $(0,3x + 1)(0,09x^2 - 0,3x + 1)$.

б) Для разложения выражения $y^6 - 0,001x^3$ на множители используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Представим уменьшаемое и вычитаемое в виде кубов:
$y^6 = (y^2)^3$
$0,001x^3 = (0,1x)^3$
В данном случае $a = y^2$ и $b = 0,1x$.
Подставим эти значения в формулу разности кубов:
$y^6 - 0,001x^3 = (y^2)^3 - (0,1x)^3 = (y^2 - 0,1x)((y^2)^2 + y^2 \cdot 0,1x + (0,1x)^2) = (y^2 - 0,1x)(y^4 + 0,1xy^2 + 0,01x^2)$.
Ответ: $(y^2 - 0,1x)(y^4 + 0,1xy^2 + 0,01x^2)$.

в) Для разложения выражения $d^3 + 0,008c^3$ на множители применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Представим каждое слагаемое в виде куба:
$d^3 = (d)^3$
$0,008c^3 = (0,2c)^3$
Здесь $a = d$ и $b = 0,2c$.
Подставляем в формулу:
$d^3 + 0,008c^3 = (d)^3 + (0,2c)^3 = (d + 0,2c)(d^2 - d \cdot 0,2c + (0,2c)^2) = (d + 0,2c)(d^2 - 0,2cd + 0,04c^2)$.
Ответ: $(d + 0,2c)(d^2 - 0,2cd + 0,04c^2)$.

г) Для разложения выражения $125 - 0,064p^3$ на множители используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Представим уменьшаемое и вычитаемое в виде кубов:
$125 = 5^3$
$0,064p^3 = (0,4p)^3$
В этом выражении $a = 5$ и $b = 0,4p$.
Подставим значения в формулу:
$125 - 0,064p^3 = 5^3 - (0,4p)^3 = (5 - 0,4p)(5^2 + 5 \cdot 0,4p + (0,4p)^2) = (5 - 0,4p)(25 + 2p + 0,16p^2)$.
Ответ: $(5 - 0,4p)(25 + 2p + 0,16p^2)$.

1003. Представьте в виде произведения:
а) 2764 − у¹²; б) −х¹⁵ + 127; в) 338а¹⁵ + b¹²; г) 16164x¹⁸ + y³.

а)

Чтобы представить выражение $\frac{27}{64} - y^{12}$ в виде произведения, воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

Сначала представим каждый член выражения в виде куба:

Первый член: $\frac{27}{64} = \frac{3^3}{4^3} = (\frac{3}{4})^3$.

Второй член: $y^{12} = y^{4 \cdot 3} = (y^4)^3$.

Теперь исходное выражение имеет вид $(\frac{3}{4})^3 - (y^4)^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = \frac{3}{4}$ и $b = y^4$:

$(\frac{3}{4} - y^4)((\frac{3}{4})^2 + \frac{3}{4} \cdot y^4 + (y^4)^2) = (\frac{3}{4} - y^4)(\frac{9}{16} + \frac{3}{4}y^4 + y^8)$.

Ответ: $(\frac{3}{4} - y^4)(\frac{9}{16} + \frac{3}{4}y^4 + y^8)$.

б)

Перепишем выражение $-x^{15} + \frac{1}{27}$ в более удобном виде: $\frac{1}{27} - x^{15}$.

Это выражение можно разложить на множители по формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

Первый член: $\frac{1}{27} = \frac{1^3}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$.

Второй член: $x^{15} = x^{5 \cdot 3} = (x^5)^3$.

Теперь исходное выражение имеет вид $(\frac{1}{3})^3 - (x^5)^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = \frac{1}{3}$ и $b = x^5$:

$(\frac{1}{3} - x^5)((\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} \cdot x^5 + (x^5)^2) = (\frac{1}{3} - x^5)(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}x^5 + x^{10})$.

Ответ: $(\frac{1}{3} - x^5)(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}x^5 + x^{10})$.

в)

Для разложения выражения $3\frac{3}{8}a^{15} + b^{12}$ на множители сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.

Теперь выражение имеет вид $\frac{27}{8}a^{15} + b^{12}$.

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

Первый член: $\frac{27}{8}a^{15} = (\frac{3}{2})^3 \cdot (a^5)^3 = (\frac{3}{2}a^5)^3$.

Второй член: $b^{12} = b^{4 \cdot 3} = (b^4)^3$.

Исходное выражение можно записать как $(\frac{3}{2}a^5)^3 + (b^4)^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a = \frac{3}{2}a^5$ и $b = b^4$:

$(\frac{3}{2}a^5 + b^4)((\frac{3}{2}a^5)^2 - \frac{3}{2}a^5 \cdot b^4 + (b^4)^2) = (\frac{3}{2}a^5 + b^4)(\frac{9}{4}a^{10} - \frac{3}{2}a^5b^4 + b^8)$.

Ответ: $(\frac{3}{2}a^5 + b^4)(\frac{9}{4}a^{10} - \frac{3}{2}a^5b^4 + b^8)$.

г)

Чтобы представить выражение $1\frac{61}{64}x^{18} + y^3$ в виде произведения, преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{61}{64} = \frac{1 \cdot 64 + 61}{64} = \frac{125}{64}$.

Теперь выражение имеет вид $\frac{125}{64}x^{18} + y^3$.

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

Первый член: $\frac{125}{64}x^{18} = \frac{5^3}{4^3} \cdot (x^6)^3 = (\frac{5}{4}x^6)^3$.

Второй член: $y^3 = (y)^3$.

Исходное выражение можно записать как $(\frac{5}{4}x^6)^3 + y^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a = \frac{5}{4}x^6$ и $b = y$:

$(\frac{5}{4}x^6 + y)((\frac{5}{4}x^6)^2 - \frac{5}{4}x^6 \cdot y + y^2) = (\frac{5}{4}x^6 + y)(\frac{25}{16}x^{12} - \frac{5}{4}x^6y + y^2)$.

Ответ: $(\frac{5}{4}x^6 + y)(\frac{25}{16}x^{12} - \frac{5}{4}x^6y + y^2)$.

1004. Докажите, что значение выражения:
а) 41³ + 19³ делится на 60;
б) 79³ − 29³ делится на 50;
в) 66³ + 34³ делится на 400;
г) 54³ − 24³ делится на 1080.

а) Для доказательства используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Применим эту формулу к выражению $41^3 + 19^3$, где $a = 41$ и $b = 19$. Получаем:

$41^3 + 19^3 = (41 + 19)(41^2 - 41 \cdot 19 + 19^2) = 60 \cdot (41^2 - 41 \cdot 19 + 19^2)$.

Так как один из множителей в произведении равен 60, а второй множитель $(41^2 - 41 \cdot 19 + 19^2)$ является целым числом, то значение всего выражения делится на 60.

Ответ: что и требовалось доказать.

б) Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Применим ее к выражению $79^3 - 29^3$, где $a = 79$ и $b = 29$. Получаем:

$79^3 - 29^3 = (79 - 29)(79^2 + 79 \cdot 29 + 29^2) = 50 \cdot (79^2 + 79 \cdot 29 + 29^2)$.

Так как один из множителей в произведении равен 50, а второй множитель является целым числом, то значение всего выражения делится на 50.

Ответ: что и требовалось доказать.

в) Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Разложим выражение $66^3 + 34^3$ на множители:

$66^3 + 34^3 = (66 + 34)(66^2 - 66 \cdot 34 + 34^2) = 100 \cdot (66^2 - 66 \cdot 34 + 34^2)$.

Мы видим, что выражение делится на 100. Чтобы доказать делимость на 400, необходимо показать, что второй множитель $(66^2 - 66 \cdot 34 + 34^2)$ делится на 4. Так как 66 и 34 являются четными числами, то $66^2$ делится на 4, $34^2$ делится на 4, и их произведение $66 \cdot 34 = (2 \cdot 33) \cdot (2 \cdot 17) = 4 \cdot 561$ также делится на 4. Сумма (и разность) чисел, делящихся на 4, также делится на 4. Следовательно, второй множитель $(66^2 - 66 \cdot 34 + 34^2)$ делится на 4.

Таким образом, исходное выражение можно представить как произведение $100 \cdot 4k = 400k$ для некоторого целого числа $k$. Это доказывает, что выражение $66^3 + 34^3$ делится на 400.

Ответ: что и требовалось доказать.

г) Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Разложим выражение $54^3 - 24^3$ на множители:

$54^3 - 24^3 = (54 - 24)(54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2) = 30 \cdot (54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2)$.

Мы видим, что выражение делится на 30. Чтобы доказать делимость на 1080, необходимо показать, что второй множитель $(54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2)$ делится на $1080 / 30 = 36$. Рассмотрим этот множитель. Числа 54 и 24 делятся на 6. Представим их как $54 = 6 \cdot 9$ и $24 = 6 \cdot 4$.

Тогда второй множитель равен $(6 \cdot 9)^2 + (6 \cdot 9)(6 \cdot 4) + (6 \cdot 4)^2 = 36 \cdot 9^2 + 36 \cdot 9 \cdot 4 + 36 \cdot 4^2 = 36 \cdot (9^2 + 9 \cdot 4 + 4^2)$. Поскольку этот множитель имеет множитель 36, он делится на 36.

Таким образом, исходное выражение можно представить как произведение $30 \cdot (36k) = 1080k$ для некоторого целого числа $k = (9^2 + 9 \cdot 4 + 4^2)$. Это доказывает, что выражение $54^3 - 24^3$ делится на 1080.

Ответ: что и требовалось доказать.

1005. Представьте в виде произведения:

а) Для разложения выражения $(x+1)^3 + x^3$ на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$.
В данном случае $A = x+1$ и $B = x$.
Подставим эти значения в формулу:
$(x+1)^3 + x^3 = ((x+1)+x)((x+1)^2 - (x+1)x + x^2)$.
Упростим каждый множитель:
Первый множитель: $x+1+x = 2x+1$.
Второй множитель: $(x+1)^2 - x(x+1) + x^2 = (x^2+2x+1) - (x^2+x) + x^2 = x^2+2x+1-x^2-x+x^2 = x^2+x+1$.
В результате получаем произведение: $(2x+1)(x^2+x+1)$.
Ответ: $(2x+1)(x^2+x+1)$.

б) Для разложения выражения $(y-2)^3 - 27$ представим $27$ как $3^3$ и воспользуемся формулой разности кубов: $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$.
Здесь $A = y-2$ и $B = 3$.
Подставим в формулу:
$(y-2)^3 - 3^3 = ((y-2)-3)((y-2)^2 + (y-2) \cdot 3 + 3^2)$.
Упростим каждый множитель:
Первый множитель: $y-2-3 = y-5$.
Второй множитель: $(y^2-4y+4) + (3y-6) + 9 = y^2-4y+4+3y-6+9 = y^2-y+7$.
В результате получаем произведение: $(y-5)(y^2-y+7)$.
Ответ: $(y-5)(y^2-y+7)$.

в) Для выражения $(a-b)^3+b^3$ применим формулу суммы кубов: $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$.
Здесь $A = a-b$ и $B = b$.
Подставим в формулу:
$((a-b)+b)((a-b)^2 - (a-b)b + b^2)$.
Упростим множители:
Первый множитель: $a-b+b=a$.
Второй множитель: $(a^2-2ab+b^2) - (ab-b^2) + b^2 = a^2-2ab+b^2-ab+b^2+b^2 = a^2-3ab+3b^2$.
В результате получаем произведение: $a(a^2-3ab+3b^2)$.
Ответ: $a(a^2-3ab+3b^2)$.

г) Выражение $8x^3+(x-y)^3$ представим как $(2x)^3+(x-y)^3$ и применим формулу суммы кубов: $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$.
Здесь $A = 2x$ и $B = x-y$.
Подставим в формулу:
$(2x+(x-y))((2x)^2 - 2x(x-y) + (x-y)^2)$.
Упростим множители:
Первый множитель: $2x+x-y = 3x-y$.
Второй множитель: $4x^2 - (2x^2-2xy) + (x^2-2xy+y^2) = 4x^2-2x^2+2xy+x^2-2xy+y^2 = 3x^2+y^2$.
В результате получаем произведение: $(3x-y)(3x^2+y^2)$.
Ответ: $(3x-y)(3x^2+y^2)$.

д) Выражение $27a^3-(a-b)^3$ представим как $(3a)^3-(a-b)^3$ и применим формулу разности кубов: $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$.
Здесь $A = 3a$ и $B = a-b$.
Подставим в формулу:
$(3a-(a-b))((3a)^2 + 3a(a-b) + (a-b)^2)$.
Упростим множители:
Первый множитель: $3a-a+b = 2a+b$.
Второй множитель: $9a^2 + (3a^2-3ab) + (a^2-2ab+b^2) = 9a^2+3a^2-3ab+a^2-2ab+b^2 = 13a^2-5ab+b^2$.
В результате получаем произведение: $(2a+b)(13a^2-5ab+b^2)$.
Ответ: $(2a+b)(13a^2-5ab+b^2)$.

е) Выражение $1000+(b-8)^3$ представим как $10^3+(b-8)^3$ и применим формулу суммы кубов: $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$.
Здесь $A = 10$ и $B = b-8$.
Подставим в формулу:
$(10+(b-8))(10^2 - 10(b-8) + (b-8)^2)$.
Упростим множители:
Первый множитель: $10+b-8 = b+2$.
Второй множитель: $100 - (10b-80) + (b^2-16b+64) = 100-10b+80+b^2-16b+64 = b^2-26b+244$.
В результате получаем произведение: $(b+2)(b^2-26b+244)$.
Ответ: $(b+2)(b^2-26b+244)$.

1006. Представьте в виде многочлена:

а) Чтобы представить выражение $(a^2 - 7)(a + 2) - (2a - 1)(a - 14)$ в виде многочлена, нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

1. Раскроем скобки первого произведения, умножая каждый член первой скобки на каждый член второй:

$(a^2 - 7)(a + 2) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot 2 - 7 \cdot a - 7 \cdot 2 = a^3 + 2a^2 - 7a - 14$.

2. Раскроем скобки второго произведения:

$(2a - 1)(a - 14) = 2a \cdot a + 2a \cdot (-14) - 1 \cdot a - 1 \cdot (-14) = 2a^2 - 28a - a + 14 = 2a^2 - 29a + 14$.

3. Подставим полученные выражения в исходное. Так как перед вторым произведением стоит знак минус, мы меняем знаки всех его членов на противоположные:

$(a^3 + 2a^2 - 7a - 14) - (2a^2 - 29a + 14) = a^3 + 2a^2 - 7a - 14 - 2a^2 + 29a - 14$.

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (2a^2 - 2a^2) + (-7a + 29a) + (-14 - 14) = a^3 + 0 \cdot a^2 + 22a - 28 = a^3 + 22a - 28$.

Ответ: $a^3 + 22a - 28$.

б) Чтобы представить выражение $(2 - b)(1 + 2b) + (1 + b)(b^3 - 3b)$ в виде многочлена, выполним те же действия.

1. Раскроем скобки первого произведения:

$(2 - b)(1 + 2b) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2b - b \cdot 1 - b \cdot 2b = 2 + 4b - b - 2b^2 = -2b^2 + 3b + 2$.

2. Раскроем скобки второго произведения:

$(1 + b)(b^3 - 3b) = 1 \cdot b^3 + 1 \cdot (-3b) + b \cdot b^3 + b \cdot (-3b) = b^3 - 3b + b^4 - 3b^2$.

3. Подставим полученные выражения в исходное и выполним сложение:

$(-2b^2 + 3b + 2) + (b^4 + b^3 - 3b^2 - 3b)$.

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, располагая их в порядке убывания степеней:

$b^4 + b^3 + (-2b^2 - 3b^2) + (3b - 3b) + 2 = b^4 + b^3 - 5b^2 + 0 \cdot b + 2 = b^4 + b^3 - 5b^2 + 2$.

Ответ: $b^4 + b^3 - 5b^2 + 2$.

1007. Представьте в виде многочлена:
а) (х + 4)(х² − 4х + 16);
б) (3а + 5)(9а² − 15а + 25).

а) Чтобы представить выражение $(x + 4)(x^2 - 4x + 16)$ в виде многочлена, можно заметить, что оно соответствует формуле суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

В данном случае, пусть $a = x$ и $b = 4$. Тогда вторая скобка должна представлять собой неполный квадрат разности $a$ и $b$: $a^2 - ab + b^2 = x^2 - x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 4x + 16$.

Поскольку это выражение в точности совпадает со второй скобкой в задании, мы можем применить формулу суммы кубов:

$(x + 4)(x^2 - 4x + 16) = x^3 + 4^3 = x^3 + 64$.

Ответ: $x^3 + 64$

б) Данное выражение $(3a + 5)(9a^2 - 15a + 25)$ также соответствует формуле суммы кубов $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

В этом случае, пусть $a = 3a$ и $b = 5$. Проверим вторую скобку, которая должна быть неполным квадратом разности:

$a^2 - ab + b^2 = (3a)^2 - (3a)(5) + 5^2 = 9a^2 - 15a + 25$.

Это выражение совпадает со второй скобкой в задании. Следовательно, применяем формулу:

$(3a + 5)(9a^2 - 15a + 25) = (3a)^3 + 5^3 = 27a^3 + 125$.

Ответ: $27a^3 + 125$

1008. Решите уравнение:

а) $(x + 1)(x + 2) - (x - 3)(x + 4) = 6$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения путем перемножения многочленов:

$(x^2 + 2x + x + 2) - (x^2 + 4x - 3x - 12) = 6$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$(x^2 + 3x + 2) - (x^2 + x - 12) = 6$

Теперь раскроем вторые скобки, учитывая знак минус перед ними (меняем знаки всех слагаемых внутри на противоположные):

$x^2 + 3x + 2 - x^2 - x + 12 = 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(x^2 - x^2) + (3x - x) + (2 + 12) = 6$

$2x + 14 = 6$

Перенесем 14 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = 6 - 14$

$2x = -8$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-8}{2}$

$x = -4$

Ответ: -4.

б) $(3x - 1)(2x + 7) - (x + 1)(6x - 5) = 7$

Раскроем скобки, перемножая многочлены:

$(6x^2 + 21x - 2x - 7) - (6x^2 - 5x + 6x - 5) = 7$

Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:

$(6x^2 + 19x - 7) - (6x^2 + x - 5) = 7$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки слагаемых:

$6x^2 + 19x - 7 - 6x^2 - x + 5 = 7$

Приведем подобные слагаемые:

$(6x^2 - 6x^2) + (19x - x) + (-7 + 5) = 7$

$18x - 2 = 7$

Перенесем -2 в правую часть:

$18x = 7 + 2$

$18x = 9$

Найдем $x$:

$x = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: 0,5.

в) $24 - (3y + 1)(4y - 5) = (11 - 6y)(2y - 7)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$24 - (12y^2 - 15y + 4y - 5) = 22y - 77 - 12y^2 + 42y$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок в левой части и в правой части:

$24 - (12y^2 - 11y - 5) = -12y^2 + 64y - 77$

Раскроем скобки в левой части:

$24 - 12y^2 + 11y + 5 = -12y^2 + 64y - 77$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-12y^2 + 11y + 29 = -12y^2 + 64y - 77$

Прибавим к обеим частям уравнения $12y^2$, чтобы избавиться от членов с $y^2$:

$11y + 29 = 64y - 77$

Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а числовые слагаемые в другую:

$29 + 77 = 64y - 11y$

$106 = 53y$

Найдем $y$:

$y = \frac{106}{53}$

$y = 2$

Ответ: 2.

г) $(6y + 2)(5 - y) = 47 - (2y - 3)(3y - 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$30y - 6y^2 + 10 - 2y = 47 - (6y^2 - 2y - 9y + 3)$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$-6y^2 + 28y + 10 = 47 - (6y^2 - 11y + 3)$

Раскроем скобки в правой части:

$-6y^2 + 28y + 10 = 47 - 6y^2 + 11y - 3$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$-6y^2 + 28y + 10 = -6y^2 + 11y + 44$

Прибавим к обеим частям уравнения $6y^2$:

$28y + 10 = 11y + 44$

Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а числа в правую:

$28y - 11y = 44 - 10$

$17y = 34$

Найдем $y$:

$y = \frac{34}{17}$

$y = 2$

Ответ: 2.