Номер 999, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 12 - номер 999, страница 197.

Условие.

999. Преобразуйте в произведение:

а) 16 − 9(р + 3)²;
б) 9 − 25(4 − х)²;

в) 1 − 36(3у − 1)²;
г) 4 − 9(а + b)².

Решение 1.

а) 16 − 9(р + 3)² =
= (4 - 3(p + 3) (4 + 3(p + 3) =
= (4 - 3p - 9) (4 + 3p + 9) =
= (-3p - 5) (13 + 3p);

б) 9 − 25(4 − х)² =
= (3 - 5(4 - x)) (3 + 5(4 - x) =
= (3 - 20 + 5x) (3 + 20 - 5x) =
= (5x - 17) (23 - 5x);

в) 1 − 36(3у − 1)² =
= (1 - 6(3y - 1)) (1 + 6(3y - 1)) =
= (1 - 18y + 6) (1 + 18y - 6) =
= (7 - 18y) (18y - 5);

г) 4 − 9(а + b)² =
= (2 - 3(a + b)) (2 + 3(a + b)) =
= (2 - 3a - 3b) (2 + 3a + 3b).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения всех пунктов данной задачи используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) $16 - 9(p + 3)^2$

Представим исходное выражение в виде разности квадратов.
Первый член: $16 = 4^2$.
Второй член: $9(p + 3)^2 = 3^2 \cdot (p + 3)^2 = (3(p + 3))^2$.
Таким образом, наше выражение принимает вид: $4^2 - (3(p + 3))^2$.
Применим формулу разности квадратов, где $a = 4$ и $b = 3(p+3)$:
$(4 - 3(p + 3))(4 + 3(p + 3))$
Теперь упростим выражения в каждой из скобок, раскрыв внутренние скобки:
Первая скобка: $4 - 3(p + 3) = 4 - 3p - 9 = -3p - 5$.
Вторая скобка: $4 + 3(p + 3) = 4 + 3p + 9 = 3p + 13$.
В итоге получаем искомое произведение: $(-3p - 5)(3p + 13)$.
Ответ: $(-3p - 5)(3p + 13)$.

б) $9 - 25(4 - x)^2$

Представим выражение в виде разности квадратов.
Первый член: $9 = 3^2$.
Второй член: $25(4 - x)^2 = 5^2 \cdot (4 - x)^2 = (5(4 - x))^2$.
Выражение принимает вид: $3^2 - (5(4 - x))^2$.
Применим формулу, где $a = 3$ и $b = 5(4 - x)$:
$(3 - 5(4 - x))(3 + 5(4 - x))$
Упростим выражения в скобках:
Первая скобка: $3 - 5(4 - x) = 3 - 20 + 5x = 5x - 17$.
Вторая скобка: $3 + 5(4 - x) = 3 + 20 - 5x = 23 - 5x$.
В итоге получаем произведение: $(5x - 17)(23 - 5x)$.
Ответ: $(5x - 17)(23 - 5x)$.

в) $1 - 36(3y - 1)^2$

Представим выражение в виде разности квадратов.
Первый член: $1 = 1^2$.
Второй член: $36(3y - 1)^2 = 6^2 \cdot (3y - 1)^2 = (6(3y - 1))^2$.
Выражение принимает вид: $1^2 - (6(3y - 1))^2$.
Применим формулу, где $a = 1$ и $b = 6(3y - 1)$:
$(1 - 6(3y - 1))(1 + 6(3y - 1))$
Упростим выражения в скобках:
Первая скобка: $1 - 6(3y - 1) = 1 - 18y + 6 = 7 - 18y$.
Вторая скобка: $1 + 6(3y - 1) = 1 + 18y - 6 = 18y - 5$.
В итоге получаем произведение: $(7 - 18y)(18y - 5)$.
Ответ: $(7 - 18y)(18y - 5)$.

г) $4 - 9(a + b)^2$

Представим выражение в виде разности квадратов.
Первый член: $4 = 2^2$.
Второй член: $9(a + b)^2 = 3^2 \cdot (a + b)^2 = (3(a + b))^2$.
Выражение принимает вид: $2^2 - (3(a + b))^2$.
Применим формулу, где $a = 2$ и $b = 3(a + b)$:
$(2 - 3(a + b))(2 + 3(a + b))$
Упростим выражения в скобках:
Первая скобка: $2 - 3(a + b) = 2 - 3a - 3b$.
Вторая скобка: $2 + 3(a + b) = 2 + 3a + 3b$.
В итоге получаем произведение: $(2 - 3a - 3b)(2 + 3a + 3b)$.
Ответ: $(2 - 3a - 3b)(2 + 3a + 3b)$.