Номер 994, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 994, страница 196.

994. Решите уравнение:
а) (х − 7)² + 3 = (х − 2)(х + 2);
б) (х + 6)² − (х − 5)(х + 5) = 79;
в) (2х − 3)² − (7 − 2х)² = 2;
г) (5х − 1)² − (1 − 3х)² = 16х(х − 3).

а) $(x - 7)^2 + 3 = (x - 2)(x + 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и разность квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2) + 3 = x^2 - 2^2$

$x^2 - 14x + 49 + 3 = x^2 - 4$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 - 14x + 52 = x^2 - 4$

Перенесем члены, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$x^2 - x^2 - 14x = -4 - 52$

$-14x = -56$

Разделим обе части на -14:

$x = \frac{-56}{-14}$

$x = 4$

Ответ: $4$.

б) $(x + 6)^2 - (x - 5)(x + 5) = 79$

Раскроем скобки, используя формулы: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и разность квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) - (x^2 - 5^2) = 79$

$(x^2 + 12x + 36) - (x^2 - 25) = 79$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$x^2 + 12x + 36 - x^2 + 25 = 79$

Приведем подобные слагаемые. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$12x + 61 = 79$

Перенесем 61 в правую часть:

$12x = 79 - 61$

$12x = 18$

Разделим обе части на 12:

$x = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $1.5$.

в) $(2x - 3)^2 - (7 - 2x)^2 = 2$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для левой части уравнения, где $a = 2x-3$ и $b = 7-2x$.

$((2x - 3) - (7 - 2x))((2x - 3) + (7 - 2x)) = 2$

Раскроем внутренние скобки:

$(2x - 3 - 7 + 2x)(2x - 3 + 7 - 2x) = 2$

Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:

$(4x - 10)(4) = 2$

Раскроем скобки:

$16x - 40 = 2$

Перенесем -40 в правую часть:

$16x = 2 + 40$

$16x = 42$

Разделим обе части на 16:

$x = \frac{42}{16} = \frac{21}{8}$

Ответ: $\frac{21}{8}$.

г) $(5x - 1)^2 - (1 - 3x)^2 = 16x(x - 3)$

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности и в правой части умножением:

$( (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 ) - ( 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3x + (3x)^2 ) = 16x^2 - 48x$

$(25x^2 - 10x + 1) - (1 - 6x + 9x^2) = 16x^2 - 48x$

Раскроем скобки в левой части, изменив знаки:

$25x^2 - 10x + 1 - 1 + 6x - 9x^2 = 16x^2 - 48x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(25x^2 - 9x^2) + (-10x + 6x) + (1 - 1) = 16x^2 - 48x$

$16x^2 - 4x = 16x^2 - 48x$

Перенесем все члены в левую часть. Члены с $16x^2$ взаимно уничтожаются:

$16x^2 - 16x^2 - 4x + 48x = 0$

$44x = 0$

Разделим обе части на 44:

$x = 0$

Ответ: $0$.