Номер 991, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 12 - номер 991, страница 196.

Условие.

991. Преобразуйте в многочлен:

а) (х − 5)² + 2х(х − 3);
б) (у + 8)² − 4у(у − 2);
в) (а − 4)(а + 4) + (2а − 1)²;
г) (b − 3)(b + 3) − (b + 2)²;

д) (2а − 5)² − (5а − 2)²;
е) (3b − 1)² + (1 − 3b)²;
ж) (2х + 1)² − (х + 7)(х − 3);
з) (3у − 2)² − (у − 9)(9 − у).

Решение 1.

а) (х − 5)² + 2х(х − 3) =
= x² - 10x + 25 + 2x² - 6x =
= 3x² - 16x + 25;

б) (у + 8)² − 4у(у − 2) =
= y² + 16y + 64 - 4y² + 8y =
= -3y² + 24y + 64;

в) (а − 4)(а + 4) + (2а − 1)² =
= a² - 16 + 4a² - 4a + 1 =
= 5a² - 4a - 15;

г) (b − 3)(b + 3) − (b + 2)² =
= b² - 9 - (b² + 4b + 4) =
= b² - 9 - b² - 4b - 4 = -4b - 13;

д) (2а − 5)² − (5а − 2)² =
= (2a - 5 - (5a - 2)) (2a - 5 + 5a - 2) =
= (2a - 5 - 5a + 2) (7a - 7) =
= (-3a - 3) (7a - 7) =
= -3(a + 1) ⋅ 7(a - 1) =
= -21(a² - 1) = -21a² + 21;

е) (3b − 1)² + (1 − 3b)² =
= 9b² - 6b + 1 + 1 - 6b + 9b² =
= 18b² - 12b + 2;

ж) (2х + 1)² − (х + 7)(х − 3) =
= 4x² + 4x + 1 - (x² - 3x + 7x - 21) =
= 4x² + 4x + 1 - (x² + 4x - 21) =
= 4x² + 4x + 1 - x² - 4x + 21 =
= 3x² + 22;

з) (3у − 2)² − (у − 9)(9 − у) =
= 9y² - 12y + 4 + (y - 9) (y - 9) =
= 9y² - 12y + 4 + y² - 18y + 81 =
= 10y² - 30y + 85.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для преобразования выражения $(x - 5)^2 + 2x(x - 3)$ в многочлен, сначала раскроем скобки. Используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для первого слагаемого и распределительный закон для второго слагаемого.

$(x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$

$2x(x - 3) = 2x \cdot x - 2x \cdot 3 = 2x^2 - 6x$

Теперь сложим полученные многочлены и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - 10x + 25) + (2x^2 - 6x) = x^2 - 10x + 25 + 2x^2 - 6x = (x^2 + 2x^2) + (-10x - 6x) + 25 = 3x^2 - 16x + 25$

Ответ: $3x^2 - 16x + 25$

б) Преобразуем выражение $(y + 8)^2 - 4y(y - 2)$. Раскроем квадрат суммы по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и применим распределительный закон.

$(y + 8)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 8 + 8^2 = y^2 + 16y + 64$

$-4y(y - 2) = -4y \cdot y - 4y \cdot (-2) = -4y^2 + 8y$

Сложим результаты и приведем подобные слагаемые:

$(y^2 + 16y + 64) + (-4y^2 + 8y) = y^2 + 16y + 64 - 4y^2 + 8y = (y^2 - 4y^2) + (16y + 8y) + 64 = -3y^2 + 24y + 64$

Ответ: $-3y^2 + 24y + 64$

в) Преобразуем выражение $(a - 4)(a + 4) + (2a - 1)^2$. Первое слагаемое — это разность квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$, второе — квадрат разности.

$(a - 4)(a + 4) = a^2 - 4^2 = a^2 - 16$

$(2a - 1)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = 4a^2 - 4a + 1$

Сложим полученные многочлены:

$(a^2 - 16) + (4a^2 - 4a + 1) = a^2 - 16 + 4a^2 - 4a + 1 = (a^2 + 4a^2) - 4a + (-16 + 1) = 5a^2 - 4a - 15$

Ответ: $5a^2 - 4a - 15$

г) Преобразуем выражение $(b - 3)(b + 3) - (b + 2)^2$. Используем формулу разности квадратов и формулу квадрата суммы.

$(b - 3)(b + 3) = b^2 - 3^2 = b^2 - 9$

$(b + 2)^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 2 + 2^2 = b^2 + 4b + 4$

Теперь вычтем второй многочлен из первого, не забывая поменять знаки у всех слагаемых вычитаемого:

$(b^2 - 9) - (b^2 + 4b + 4) = b^2 - 9 - b^2 - 4b - 4 = (b^2 - b^2) - 4b + (-9 - 4) = -4b - 13$

Ответ: $-4b - 13$

д) Преобразуем выражение $(2a - 5)^2 - (5a - 2)^2$. Можно раскрыть каждый квадрат по отдельности, а можно использовать формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Раскроем каждый квадрат:

$(2a - 5)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = 4a^2 - 20a + 25$

$(5a - 2)^2 = (5a)^2 - 2 \cdot 5a \cdot 2 + 2^2 = 25a^2 - 20a + 4$

Вычтем второй результат из первого:

$(4a^2 - 20a + 25) - (25a^2 - 20a + 4) = 4a^2 - 20a + 25 - 25a^2 + 20a - 4 = (4a^2 - 25a^2) + (-20a + 20a) + (25 - 4) = -21a^2 + 21$

Ответ: $-21a^2 + 21$

е) Преобразуем выражение $(3b - 1)^2 + (1 - 3b)^2$. Заметим, что $(1 - 3b) = -(3b - 1)$, а квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного: $ (-x)^2 = x^2 $.

Следовательно, $(1 - 3b)^2 = (-(3b - 1))^2 = (3b - 1)^2$.

Выражение принимает вид: $(3b - 1)^2 + (3b - 1)^2 = 2(3b - 1)^2$.

Раскроем квадрат разности: $(3b - 1)^2 = (3b)^2 - 2 \cdot 3b \cdot 1 + 1^2 = 9b^2 - 6b + 1$.

Теперь умножим на 2: $2(9b^2 - 6b + 1) = 18b^2 - 12b + 2$.

Ответ: $18b^2 - 12b + 2$

ж) Преобразуем выражение $(2x + 1)^2 - (x + 7)(x - 3)$. Раскроем квадрат суммы и произведение двух скобок.

$(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$

$(x + 7)(x - 3) = x \cdot x + x \cdot (-3) + 7 \cdot x + 7 \cdot (-3) = x^2 - 3x + 7x - 21 = x^2 + 4x - 21$

Вычтем второй многочлен из первого:

$(4x^2 + 4x + 1) - (x^2 + 4x - 21) = 4x^2 + 4x + 1 - x^2 - 4x + 21 = (4x^2 - x^2) + (4x - 4x) + (1 + 21) = 3x^2 + 22$

Ответ: $3x^2 + 22$

з) Преобразуем выражение $(3y - 2)^2 - (y - 9)(9 - y)$. Обратим внимание на вторую часть: $(9 - y) = -(y - 9)$.

Поэтому $(y - 9)(9 - y) = (y - 9) \cdot (-(y - 9)) = -(y - 9)^2$.

Исходное выражение можно переписать как: $(3y - 2)^2 - (-(y - 9)^2) = (3y - 2)^2 + (y - 9)^2$.

Теперь раскроем оба квадрата разности:

$(3y - 2)^2 = (3y)^2 - 2 \cdot 3y \cdot 2 + 2^2 = 9y^2 - 12y + 4$

$(y - 9)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 9 + 9^2 = y^2 - 18y + 81$

Сложим полученные многочлены:

$(9y^2 - 12y + 4) + (y^2 - 18y + 81) = 9y^2 - 12y + 4 + y^2 - 18y + 81 = (9y^2 + y^2) + (-12y - 18y) + (4 + 81) = 10y^2 - 30y + 85$

Ответ: $10y^2 - 30y + 85$