Номер 990, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 990, страница 196.

990. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:
а) (х − 8)(х + 8) − (х − 12)(х + 12);
б) (y − 59)(y + 59) + (23 − y)(23 + y).

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, необходимо его упростить. Мы воспользуемся формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу к каждой части выражения $(x-8)(x+8)-(x-12)(x+12)$.

Для первого произведения $(x-8)(x+8)$, где $a=x$ и $b=8$, получаем:

$(x-8)(x+8) = x^2 - 8^2 = x^2 - 64$.

Для второго произведения $(x-12)(x+12)$, где $a=x$ и $b=12$, получаем:

$(x-12)(x+12) = x^2 - 12^2 = x^2 - 144$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(x^2 - 64) - (x^2 - 144)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 64 - x^2 + 144 = (x^2 - x^2) + (144 - 64) = 0 + 80 = 80$.

Значение выражения равно 80 и не зависит от значения переменной $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: 80.

б) Упростим выражение $(y-\frac{5}{9})(y+\frac{5}{9}) + (\frac{2}{3}-y)(\frac{2}{3}+y)$, используя ту же формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Для первого произведения $(y-\frac{5}{9})(y+\frac{5}{9})$, где $a=y$ и $b=\frac{5}{9}$, получаем:

$(y-\frac{5}{9})(y+\frac{5}{9}) = y^2 - (\frac{5}{9})^2 = y^2 - \frac{25}{81}$.

Для второго произведения $(\frac{2}{3}-y)(\frac{2}{3}+y)$, где $a=\frac{2}{3}$ и $b=y$, получаем:

$(\frac{2}{3}-y)(\frac{2}{3}+y) = (\frac{2}{3})^2 - y^2 = \frac{4}{9} - y^2$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(y^2 - \frac{25}{81}) + (\frac{4}{9} - y^2)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$y^2 - \frac{25}{81} + \frac{4}{9} - y^2 = (y^2 - y^2) + (\frac{4}{9} - \frac{25}{81})$.

Приведем дроби к общему знаменателю 81:

$\frac{4}{9} - \frac{25}{81} = \frac{4 \cdot 9}{9 \cdot 9} - \frac{25}{81} = \frac{36}{81} - \frac{25}{81} = \frac{36 - 25}{81} = \frac{11}{81}$.

Значение выражения равно $\frac{11}{81}$ и не зависит от значения переменной $y$, что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{11}{81}$.