Номер 985, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 985, страница 195.

985. Разложите на множители:

а) b² + 10b + 25;
б) с² − 8с + 16;

в) 16х² − 8х + 1;
г) 4с² + 12с + 9;

д) х⁴ + 2х²у + у²;
е) а⁶ − 6a³b² + 9b⁴.

а) Чтобы разложить на множители выражение $b^2 + 10b + 25$, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
В данном выражении первый член $b^2$ является квадратом $b$, а третий член $25$ является квадратом $5$.
Проверим, равен ли средний член удвоенному произведению $b$ и $5$: $2 \cdot b \cdot 5 = 10b$.
Так как все условия выполняются, выражение является полным квадратом суммы.
$b^2 + 10b + 25 = (b)^2 + 2 \cdot b \cdot 5 + 5^2 = (b+5)^2$.
Ответ: $(b+5)^2$.

б) Чтобы разложить на множители выражение $c^2 - 8c + 16$, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В данном выражении первый член $c^2$ является квадратом $c$, а третий член $16$ является квадратом $4$.
Проверим, равен ли средний член (без учета знака) удвоенному произведению $c$ и $4$: $2 \cdot c \cdot 4 = 8c$.
Так как перед средним членом стоит знак минус, выражение является полным квадратом разности.
$c^2 - 8c + 16 = (c)^2 - 2 \cdot c \cdot 4 + 4^2 = (c-4)^2$.
Ответ: $(c-4)^2$.

в) Чтобы разложить на множители выражение $16x^2 - 8x + 1$, применим формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Первый член $16x^2$ является квадратом $4x$, а третий член $1$ является квадратом $1$.
Проверим средний член: $2 \cdot (4x) \cdot 1 = 8x$.
Знак перед средним членом — минус, значит, это квадрат разности.
$16x^2 - 8x + 1 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 = (4x-1)^2$.
Ответ: $(4x-1)^2$.

г) Чтобы разложить на множители выражение $4c^2 + 12c + 9$, применим формулу квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Первый член $4c^2$ является квадратом $2c$, а третий член $9$ является квадратом $3$.
Проверим средний член: $2 \cdot (2c) \cdot 3 = 12c$.
Знак перед средним членом — плюс, значит, это квадрат суммы.
$4c^2 + 12c + 9 = (2c)^2 + 2 \cdot 2c \cdot 3 + 3^2 = (2c+3)^2$.
Ответ: $(2c+3)^2$.

д) Чтобы разложить на множители выражение $x^4 + 2x^2y + y^2$, применим формулу квадрата суммы: $A^2 + 2AB + B^2 = (A+B)^2$.
В данном случае $A^2 = x^4 = (x^2)^2$, следовательно $A = x^2$.
$B^2 = y^2$, следовательно $B = y$.
Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot x^2 \cdot y = 2x^2y$.
Выражение является полным квадратом суммы.
$x^4 + 2x^2y + y^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot y + y^2 = (x^2+y)^2$.
Ответ: $(x^2+y)^2$.

е) Чтобы разложить на множители выражение $a^6 - 6a^3b^2 + 9b^4$, применим формулу квадрата разности: $A^2 - 2AB + B^2 = (A-B)^2$.
В данном случае $A^2 = a^6 = (a^3)^2$, следовательно $A = a^3$.
$B^2 = 9b^4 = (3b^2)^2$, следовательно $B = 3b^2$.
Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot a^3 \cdot (3b^2) = 6a^3b^2$.
Знак перед средним членом — минус, значит, это квадрат разности.
$a^6 - 6a^3b^2 + 9b^4 = (a^3)^2 - 2 \cdot a^3 \cdot (3b^2) + (3b^2)^2 = (a^3-3b^2)^2$.
Ответ: $(a^3-3b^2)^2$.