Номер 988, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 988, страница 196.

988. Представьте в виде многочлена:

а) 5y(y² − 3)(y² + 3);
б) −8х(4х − х³)(4х + х³);

в) (а⁴ − 3)(а⁴ + 3)(а⁸ + 9);
г) (1 − b³)(1 + b³)(1 + b⁶).

а) $5y(y^2 - 3)(y^2 + 3)$
Для начала, заметим, что произведение $(y^2 - 3)(y^2 + 3)$ является разностью квадратов. Воспользуемся формулой $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = y^2$ и $b = 3$.
$(y^2 - 3)(y^2 + 3) = (y^2)^2 - 3^2 = y^4 - 9$.
Теперь подставим это выражение обратно в исходное:
$5y(y^4 - 9)$.
Раскроем скобки, умножив $5y$ на каждый член многочлена $y^4 - 9$:
$5y \cdot y^4 - 5y \cdot 9 = 5y^5 - 45y$.
Ответ: $5y^5 - 45y$.

б) $-8x(4x - x^3)(4x + x^3)$
Произведение $(4x - x^3)(4x + x^3)$ также является разностью квадратов. Применим формулу $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = 4x$ и $b = x^3$.
$(4x - x^3)(4x + x^3) = (4x)^2 - (x^3)^2 = 16x^2 - x^6$.
Теперь умножим полученный двучлен на одночлен $-8x$:
$-8x(16x^2 - x^6) = -8x \cdot 16x^2 - (-8x) \cdot x^6 = -128x^3 + 8x^7$.
Для стандартного вида многочлена расположим его члены в порядке убывания степеней:
$8x^7 - 128x^3$.
Ответ: $8x^7 - 128x^3$.

в) $(a^4 - 3)(a^4 + 3)(a^8 + 9)$
Упростим выражение пошагово, используя формулу разности квадратов. Сначала для первых двух множителей:
$(a^4 - 3)(a^4 + 3) = (a^4)^2 - 3^2 = a^8 - 9$.
Теперь исходное выражение принимает вид:
$(a^8 - 9)(a^8 + 9)$.
Это снова разность квадратов, где $a = a^8$ и $b = 9$. Применим формулу еще раз:
$(a^8 - 9)(a^8 + 9) = (a^8)^2 - 9^2 = a^{16} - 81$.
Ответ: $a^{16} - 81$.

г) $(1 - b^3)(1 + b^3)(1 + b^6)$
Сначала перемножим первые две скобки по формуле разности квадратов, где $a = 1$ и $b = b^3$:
$(1 - b^3)(1 + b^3) = 1^2 - (b^3)^2 = 1 - b^6$.
Подставим полученный результат в выражение:
$(1 - b^6)(1 + b^6)$.
Снова видим формулу разности квадратов, где $a = 1$ и $b = b^6$ :
$(1 - b^6)(1 + b^6) = 1^2 - (b^6)^2 = 1 - b^{12}$.
Ответ: $1 - b^{12}$.