Номер 983, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 983, страница 195.

983. Докажите, что значение выражения не зависит от х:
а) (х + 7)² − (х − 5)(х + 19);
б) (х + 9)² + (8 − х)(х + 26).

а) Чтобы доказать, что значение выражения $(x + 7)? - (x - 5)(x + 19)$ не зависит от $x$, необходимо упростить его. Если в результате упрощения все члены, содержащие $x$, сократятся, то утверждение будет доказано.

1. Раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(x + 7)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 + 14x + 49$.

2. Раскроем скобки, перемножив многочлены:
$(x - 5)(x + 19) = x \cdot x + x \cdot 19 - 5 \cdot x - 5 \cdot 19 = x^2 + 19x - 5x - 95 = x^2 + 14x - 95$.

3. Подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:
$(x^2 + 14x + 49) - (x^2 + 14x - 95) = x^2 + 14x + 49 - x^2 - 14x + 95$.

4. Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (14x - 14x) + (49 + 95) = 0 + 0 + 144 = 144$.

Так как в результате упрощения получилось число 144, которое не содержит переменную $x$, значение выражения не зависит от $x$.
Ответ: 144.

б) Упростим выражение $(x + 9)? + (8 - x)(x + 26)$, чтобы доказать, что его значение не зависит от $x$.

1. Раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(x + 9)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2 = x^2 + 18x + 81$.

2. Раскроем скобки, перемножив многочлены:
$(8 - x)(x + 26) = 8 \cdot x + 8 \cdot 26 - x \cdot x - x \cdot 26 = 8x + 208 - x^2 - 26x = -x^2 - 18x + 208$.

3. Подставим полученные выражения в исходное и выполним сложение:
$(x^2 + 18x + 81) + (-x^2 - 18x + 208) = x^2 + 18x + 81 - x^2 - 18x + 208$.

4. Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (18x - 18x) + (81 + 208) = 0 + 0 + 289 = 289$.

Так как в результате упрощения получилось число 289, которое не содержит переменную $x$, значение выражения не зависит от $x$.
Ответ: 289.