Номер 976, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 39. Возведение двучлена в степень - номер 976, страница 194.

Условие.

976. Используя формулу четвёртой степени двучлена, преобразуйте выражение:
а) (а² + 2b)⁴; б) (а³ − b)⁴.

Решение 1.

а) (а² + 2b)⁴ = (a²)⁴ +
+ 4(a²)³ ⋅ 2b + 6(a²)² (2b)² +
+ 4a²(2b)³ + (2b)⁴ =
= a⁸ + 8a⁶b + 24a⁴b² +
+ 32a²b³ + 16b⁴;

б) (а³ − b)⁴ = (a³ + (-b))⁴ =
= (a³)⁴ + 4(a³)³ ⋅ (-b) + 6(a³)² ×
× (-b)² + 4a³ (-b)³ + (-b)⁴ =
= a¹² - 4a⁹b + 6a⁶b² - 4a³b³ + b⁴.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи используется формула бинома Ньютона для четвёртой степени. Коэффициенты для степени $n=4$ можно найти из треугольника Паскаля: 1, 4, 6, 4, 1.

Формула для суммы двучлена в четвёртой степени:
$(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$

Формула для разности двучлена в четвёртой степени:
$(x-y)^4 = x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4$

а) Преобразуем выражение $(a^2 + 2b)^4$.
Здесь в качестве $x$ выступает $a^2$, а в качестве $y$ выступает $2b$. Применим формулу для суммы двучлена в четвёртой степени:
$(a^2 + 2b)^4 = (a^2)^4 + 4(a^2)^3(2b) + 6(a^2)^2(2b)^2 + 4(a^2)(2b)^3 + (2b)^4$
Теперь упростим каждое слагаемое:
$(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$
$4(a^2)^3(2b) = 4a^6 \cdot 2b = 8a^6b$
$6(a^2)^2(2b)^2 = 6a^4 \cdot 4b^2 = 24a^4b^2$
$4(a^2)(2b)^3 = 4a^2 \cdot 8b^3 = 32a^2b^3$
$(2b)^4 = 2^4 \cdot b^4 = 16b^4$
Собрав все слагаемые вместе, получаем:
$a^8 + 8a^6b + 24a^4b^2 + 32a^2b^3 + 16b^4$
Ответ: $a^8 + 8a^6b + 24a^4b^2 + 32a^2b^3 + 16b^4$

б) Преобразуем выражение $(a^3 - b)^4$.
Здесь в качестве $x$ выступает $a^3$, а в качестве $y$ выступает $b$. Применим формулу для разности двучлена в четвёртой степени:
$(a^3 - b)^4 = (a^3)^4 - 4(a^3)^3(b) + 6(a^3)^2(b)^2 - 4(a^3)(b)^3 + (b)^4$
Теперь упростим каждое слагаемое:
$(a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12}$
$4(a^3)^3(b) = 4a^9b$
$6(a^3)^2(b)^2 = 6a^6b^2$
$4(a^3)(b)^3 = 4a^3b^3$
$(b)^4 = b^4$
Собрав все слагаемые вместе с учетом знаков, получаем:
$a^{12} - 4a^9b + 6a^6b^2 - 4a^3b^3 + b^4$
Ответ: $a^{12} - 4a^9b + 6a^6b^2 - 4a^3b^3 + b^4$