Номер 975, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 39. Возведение двучлена в степень - номер 975, страница 194.

Условие.

975. Напишите формулу:
а) седьмой степени двучлена;
б) восьмой степени двучлена.

Решение 1.

а) (a + b)⁷ = a⁷ + 7a⁶b + 21a⁵b² +
+ 35a⁴b³ + 35a³b⁴ + 21a²b⁵ +
+ 7ab⁶ + b⁷;

б) (a + b)⁸ = a⁸ + 8a⁷b + 28a⁶b² +
+ 56a⁵b³ + 70a⁴b⁴ + 56a³b⁵ +
+ 28a²b⁶ + 8ab⁷ + b⁸.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) седьмой степени двучлена

Для написания формулы седьмой степени двучлена $(a+b)^7$ используется формула бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

При $n=7$ эта формула раскрывается следующим образом:

$(a+b)^7 = C_7^0 a^7 + C_7^1 a^6 b + C_7^2 a^5 b^2 + C_7^3 a^4 b^3 + C_7^4 a^3 b^4 + C_7^5 a^2 b^5 + C_7^6 a b^6 + C_7^7 b^7$

Коэффициенты $C_n^k$ (биномиальные коэффициенты) вычисляются по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ или берутся из треугольника Паскаля. Для $n=7$ коэффициенты следующие:

$C_7^0 = 1$

$C_7^1 = \frac{7!}{1!(7-1)!} = \frac{7!}{1!6!} = 7$

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

В силу свойства симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$, остальные коэффициенты равны уже найденным:

$C_7^4 = C_7^3 = 35$

$C_7^5 = C_7^2 = 21$

$C_7^6 = C_7^1 = 7$

$C_7^7 = C_7^0 = 1$

Подставляя эти значения в разложение, получаем итоговую формулу:

Ответ: $(a+b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$.

б) восьмой степени двучлена

Аналогично, для двучлена в восьмой степени $(a+b)^8$ используем формулу бинома Ньютона при $n=8$:

$(a+b)^8 = C_8^0 a^8 + C_8^1 a^7 b + C_8^2 a^6 b^2 + C_8^3 a^5 b^3 + C_8^4 a^4 b^4 + C_8^5 a^3 b^5 + C_8^6 a^2 b^6 + C_8^7 a b^7 + C_8^8 b^8$

Вычисляем биномиальные коэффициенты для $n=8$:

$C_8^0 = 1$

$C_8^1 = \frac{8!}{1!7!} = 8$

$C_8^2 = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$

$C_8^3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$

$C_8^4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$

Используя свойство симметрии, находим остальные коэффициенты:

$C_8^5 = C_8^3 = 56$

$C_8^6 = C_8^2 = 28$

$C_8^7 = C_8^1 = 8$

$C_8^8 = C_8^0 = 1$

Подставив значения коэффициентов, получаем формулу для восьмой степени двучлена:

Ответ: $(a+b)^8 = a^8 + 8a^7b + 28a^6b^2 + 56a^5b^3 + 70a^4b^4 + 56a^3b^5 + 28a^2b^6 + 8ab^7 + b^8$.