Номер 975, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, оранжевый, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-102535-4, 978-5-09-110804-0
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
39. Возведение двучлена в степень. § 13. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 975, страница 194.
№975 (с. 194)
Условие. №975 (с. 194)
скриншот условия

975. Напишите формулу:
а) седьмой степени двучлена;
б) восьмой степени двучлена.
Решение 1. №975 (с. 194)

Решение 2. №975 (с. 194)


Решение 3. №975 (с. 194)

Решение 4. №975 (с. 194)

Решение 5. №975 (с. 194)
а) седьмой степени двучлена
Для написания формулы седьмой степени двучлена $(a+b)^7$ используется формула бинома Ньютона:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$
При $n=7$ эта формула раскрывается следующим образом:
$(a+b)^7 = C_7^0 a^7 + C_7^1 a^6 b + C_7^2 a^5 b^2 + C_7^3 a^4 b^3 + C_7^4 a^3 b^4 + C_7^5 a^2 b^5 + C_7^6 a b^6 + C_7^7 b^7$
Коэффициенты $C_n^k$ (биномиальные коэффициенты) вычисляются по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ или берутся из треугольника Паскаля. Для $n=7$ коэффициенты следующие:
$C_7^0 = 1$
$C_7^1 = \frac{7!}{1!(7-1)!} = \frac{7!}{1!6!} = 7$
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$
$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$
В силу свойства симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$, остальные коэффициенты равны уже найденным:
$C_7^4 = C_7^3 = 35$
$C_7^5 = C_7^2 = 21$
$C_7^6 = C_7^1 = 7$
$C_7^7 = C_7^0 = 1$
Подставляя эти значения в разложение, получаем итоговую формулу:
Ответ: $(a+b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$.
б) восьмой степени двучлена
Аналогично, для двучлена в восьмой степени $(a+b)^8$ используем формулу бинома Ньютона при $n=8$:
$(a+b)^8 = C_8^0 a^8 + C_8^1 a^7 b + C_8^2 a^6 b^2 + C_8^3 a^5 b^3 + C_8^4 a^4 b^4 + C_8^5 a^3 b^5 + C_8^6 a^2 b^6 + C_8^7 a b^7 + C_8^8 b^8$
Вычисляем биномиальные коэффициенты для $n=8$:
$C_8^0 = 1$
$C_8^1 = \frac{8!}{1!7!} = 8$
$C_8^2 = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$
$C_8^3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$
$C_8^4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$
Используя свойство симметрии, находим остальные коэффициенты:
$C_8^5 = C_8^3 = 56$
$C_8^6 = C_8^2 = 28$
$C_8^7 = C_8^1 = 8$
$C_8^8 = C_8^0 = 1$
Подставив значения коэффициентов, получаем формулу для восьмой степени двучлена:
Ответ: $(a+b)^8 = a^8 + 8a^7b + 28a^6b^2 + 56a^5b^3 + 70a^4b^4 + 56a^3b^5 + 28a^2b^6 + 8ab^7 + b^8$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 7 класс, для упражнения номер 975 расположенного на странице 194 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №975 (с. 194), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.