Номер 981, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Возведение двучлена в степень. § 13. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 981, страница 195.

981. Докажите, что значение выражения:
а) 83⁴ + 65 кратно 81;
б) 141¹⁰ + 88 кратно 139.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $83^4 + 65$ кратно $81$, представим число $83$ в виде суммы, где одно из слагаемых близко к $81$. В данном случае $83 = 81 + 2$. Подставим это в исходное выражение:
$83^4 + 65 = (81 + 2)^4 + 65$.
Применим формулу бинома Ньютона для раскрытия скобок $(a+b)^n$. В выражении $(81+2)^4$ все слагаемые в разложении, кроме последнего, будут содержать множитель $81$. Поэтому сумму всех этих слагаемых можно представить как $81k$, где $k$ — некоторое целое число. Последним слагаемым будет $2^4$.
Таким образом, $(81 + 2)^4 = 81k + 2^4$.
Подставим это обратно в исходное выражение:
$81k + 2^4 + 65 = 81k + 16 + 65 = 81k + 81$.
Вынесем общий множитель $81$ за скобки:
$81(k+1)$.
Поскольку $k$ является целым числом, то и $k+1$ — целое число. Следовательно, выражение $81(k+1)$ кратно $81$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $141^{10} + 88$ кратно $139$, воспользуемся аналогичным подходом. Представим число $141$ в виде суммы $139 + 2$.
Исходное выражение примет вид:
$141^{10} + 88 = (139 + 2)^{10} + 88$.
При раскрытии скобок $(139 + 2)^{10}$ по формуле бинома Ньютона все слагаемые, за исключением последнего, будут содержать множитель $139$, а значит их сумма будет кратна $139$. Эту сумму можно представить как $139m$, где $m$ — целое число. Последним слагаемым в разложении будет $2^{10}$.
Таким образом, $(139 + 2)^{10} = 139m + 2^{10}$.
Подставим это в наше выражение:
$139m + 2^{10} + 88$.
Вычислим значение оставшейся части:
$2^{10} + 88 = 1024 + 88 = 1112$.
Теперь необходимо проверить, кратно ли число $1112$ числу $139$. Выполним деление:
$1112 \div 139 = 8$.
Поскольку $1112$ делится на $139$ нацело, мы можем записать $1112 = 139 \cdot 8$.
Теперь всё выражение можно переписать в виде:
$139m + 139 \cdot 8 = 139(m+8)$.
Так как $m$ — целое число, то $m+8$ также является целым числом. Значит, выражение $139(m+8)$ кратно $139$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.