Номер 981, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 13. Преобразование целых выражений. 39. Возведение двучлена в степень - номер 981, страница 195.

Условие.

981. Докажите, что значение выражения:
а) 83⁴ + 65 кратно 81;
б) 141¹⁰ + 88 кратно 139.

Решение 1.

а) 83⁴ + 65 = (81 + 2)⁴ + 65 =
= 81⁴ + 4 ⋅ 81³ ⋅ 2 + 6 ⋅ 81² ⋅ 2² +
+ 4 ⋅ 81 ⋅ 2³ + 2⁴ + 65 =
= 81⁴ + 8 ⋅ 81³ + 24 ⋅ 81² +
+ 32 ⋅ 81 + 16 + 65 =
= 81⁴ + 8 ⋅ 81³ + 24 ⋅ 81² +
+ 32 ⋅ 81 + 81 = 81 ⋅ (81³ +
+ 8 ⋅ 81² + 24 ⋅ 81 + 32 + 1) кратно 81

б) 141¹⁰ + 88 = (139 + 2)¹⁰ + 88 =
= 139¹⁰ + 10 ⋅ 139⁹ ⋅ 2 + 45 ×
× 139⁸ ⋅ 2² + 120 ⋅ 139⁷ ⋅ 2³ +
+ 210 ⋅ 139⁶ ⋅ 2⁴ + 252 ⋅ 139⁵ ×
× 2⁵ + 210 ⋅ 139⁴ ⋅ 2⁶ + 120 ×
× 139³ ⋅ 2⁷ + 45 ⋅ 139² ⋅ 2⁸ +
+ 10 ⋅ 139 ⋅ 2⁹ + 2¹⁰ + 88 =
= 139¹⁰ + 10 ⋅ 139⁹ ⋅ 2 + ... +
+ 10 ⋅ 139 ⋅ 2¹⁰ + 1024 + 88 =
= 139¹⁰ + 10 ⋅ 139⁹ ⋅ 2 + ... +
+ 10 ⋅ 139 ⋅ 2¹⁰ + 1112 =
= 139¹⁰ + 10 ⋅ 139⁹ ⋅ 2 + ... +
+ 10 ⋅ 139 ⋅ 2¹⁰ + 139 ⋅ 8

Все слагаемые данного выражения содержат множитель 139. Значит, и всё выражение кратно 139.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $83^4 + 65$ кратно $81$, представим число $83$ в виде суммы, где одно из слагаемых близко к $81$. В данном случае $83 = 81 + 2$. Подставим это в исходное выражение:
$83^4 + 65 = (81 + 2)^4 + 65$.
Применим формулу бинома Ньютона для раскрытия скобок $(a+b)^n$. В выражении $(81+2)^4$ все слагаемые в разложении, кроме последнего, будут содержать множитель $81$. Поэтому сумму всех этих слагаемых можно представить как $81k$, где $k$ — некоторое целое число. Последним слагаемым будет $2^4$.
Таким образом, $(81 + 2)^4 = 81k + 2^4$.
Подставим это обратно в исходное выражение:
$81k + 2^4 + 65 = 81k + 16 + 65 = 81k + 81$.
Вынесем общий множитель $81$ за скобки:
$81(k+1)$.
Поскольку $k$ является целым числом, то и $k+1$ — целое число. Следовательно, выражение $81(k+1)$ кратно $81$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $141^{10} + 88$ кратно $139$, воспользуемся аналогичным подходом. Представим число $141$ в виде суммы $139 + 2$.
Исходное выражение примет вид:
$141^{10} + 88 = (139 + 2)^{10} + 88$.
При раскрытии скобок $(139 + 2)^{10}$ по формуле бинома Ньютона все слагаемые, за исключением последнего, будут содержать множитель $139$, а значит их сумма будет кратна $139$. Эту сумму можно представить как $139m$, где $m$ — целое число. Последним слагаемым в разложении будет $2^{10}$.
Таким образом, $(139 + 2)^{10} = 139m + 2^{10}$.
Подставим это в наше выражение:
$139m + 2^{10} + 88$.
Вычислим значение оставшейся части:
$2^{10} + 88 = 1024 + 88 = 1112$.
Теперь необходимо проверить, кратно ли число $1112$ числу $139$. Выполним деление:
$1112 \div 139 = 8$.
Поскольку $1112$ делится на $139$ нацело, мы можем записать $1112 = 139 \cdot 8$.
Теперь всё выражение можно переписать в виде:
$139m + 139 \cdot 8 = 139(m+8)$.
Так как $m$ — целое число, то $m+8$ также является целым числом. Значит, выражение $139(m+8)$ кратно $139$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.