Номер 987, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 12 - номер 987, страница 195.

Условие.

987. Вычислите:

a) 1005 · 995;
б) 108 · 92;

в) 0,94 · 1,06;
г) 1,09 · 0,91;

д) 1017 · 967;
е) 9979 · 10029.

Решение 1.

a) 1005 · 995 =
=(1000 + 5) (1000 - 5) =
= 1 000 000 - 25 = 999 975;

б) 108 · 92 =
=(100 + 8) (100 - 8) =
= 10 000 - 64 = 9 936;

в) 0,94 · 1,06 =
=(1 - 0,06) (1 + 0,06) =
= 1 - 0,0036 = 0,9964;

г) 1,09 · 0,91 =
=(1 + 0,09) (1 - 0,09) =
= 1 - 0,0081 = 0,9919;

$\mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }10\frac{1}{7}·9\frac{6}{7}=\left(10+\frac{1}{7}\right) \left(10-\frac{1}{7}\right)=$
$=100-\frac{1}{49}=99\frac{48}{49};$

$\mathbf{е}\mathbf{)} 99\frac{7}{9}·100\frac{2}{9}=$

$=\left(100-\frac{2}{9}\right) \left(100+\frac{2}{9}\right)=$

$=10 000-\frac{4}{81}=9 999\frac{81}{81}-\frac{4}{81}=$

$=9 999\frac{77}{81}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для вычисления произведения $1005 \cdot 995$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Представим множители в следующем виде:
$1005 = 1000 + 5$
$995 = 1000 - 5$
Тогда произведение можно записать как:
$1005 \cdot 995 = (1000 + 5)(1000 - 5) = 1000^2 - 5^2 = 1000000 - 25 = 999975$.
Ответ: 999975.

б) Для вычисления произведения $108 \cdot 92$ также применим формулу разности квадратов.
Представим множители в виде:
$108 = 100 + 8$
$92 = 100 - 8$
Тогда произведение равно:
$108 \cdot 92 = (100 + 8)(100 - 8) = 100^2 - 8^2 = 10000 - 64 = 9936$.
Ответ: 9936.

в) Для вычисления произведения $0,94 \cdot 1,06$ используем тот же подход.
Представим множители:
$0,94 = 1 - 0,06$
$1,06 = 1 + 0,06$
Тогда:
$0,94 \cdot 1,06 = (1 - 0,06)(1 + 0,06) = 1^2 - 0,06^2 = 1 - 0,0036 = 0,9964$.
Ответ: 0,9964.

г) Для вычисления произведения $1,09 \cdot 0,91$ снова применяем формулу разности квадратов.
Представим множители:
$1,09 = 1 + 0,09$
$0,91 = 1 - 0,09$
Тогда:
$1,09 \cdot 0,91 = (1 + 0,09)(1 - 0,09) = 1^2 - 0,09^2 = 1 - 0,0081 = 0,9919$.
Ответ: 0,9919.

д) Для вычисления произведения смешанных дробей $10\frac{1}{7} \cdot 9\frac{6}{7}$ преобразуем их так, чтобы можно было использовать формулу разности квадратов.
$10\frac{1}{7} = 10 + \frac{1}{7}$
$9\frac{6}{7} = 9 + \frac{6}{7} = 10 - 1 + \frac{6}{7} = 10 - \frac{7}{7} + \frac{6}{7} = 10 - \frac{1}{7}$
Теперь произведение можно записать как:
$(10 + \frac{1}{7})(10 - \frac{1}{7}) = 10^2 - (\frac{1}{7})^2 = 100 - \frac{1}{49} = 99\frac{49}{49} - \frac{1}{49} = 99\frac{48}{49}$.
Ответ: $99\frac{48}{49}$.

е) Для вычисления произведения $99\frac{7}{9} \cdot 100\frac{2}{9}$ поступим аналогично предыдущему пункту.
Преобразуем множители:
$99\frac{7}{9} = 100 - 1 + \frac{7}{9} = 100 - \frac{9}{9} + \frac{7}{9} = 100 - \frac{2}{9}$
$100\frac{2}{9} = 100 + \frac{2}{9}$
Тогда произведение равно:
$(100 - \frac{2}{9})(100 + \frac{2}{9}) = 100^2 - (\frac{2}{9})^2 = 10000 - \frac{4}{81} = 9999\frac{81}{81} - \frac{4}{81} = 9999\frac{77}{81}$.
Ответ: $9999\frac{77}{81}$.