Номер 993, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 993, страница 196.

993. Представьте в виде многочлена:

а) (х + у + 1)(х + у − 1);
б) (m + n − 3)(m + n + 3);
в) (а − b − 5)(а − b + 5);

г) (с − d + 8)(с − d − 8);
д) (р + 2q − 3)(р − 2q − 3);
е) (а − 3х + 6)(а + 3х + 6).

Для решения данных задач мы будем использовать формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Для этого необходимо сгруппировать слагаемые в скобках таким образом, чтобы можно было применить эту формулу.

а)

В выражении $(x + y + 1)(x + y - 1)$ сгруппируем первые два слагаемых: $((x + y) + 1)((x + y) - 1)$.

Теперь мы можем применить формулу разности квадратов, где $a = (x+y)$ и $b = 1$.

$((x+y)+1)((x+y)-1) = (x+y)^2 - 1^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(x+y)^2 - 1 = x^2 + 2xy + y^2 - 1$

Ответ: $x^2 + 2xy + y^2 - 1$

б)

В выражении $(m + n - 3)(m + n + 3)$ сгруппируем слагаемые: $((m + n) - 3)((m + n) + 3)$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = (m+n)$ и $b = 3$.

$((m+n)-3)((m+n)+3) = (m+n)^2 - 3^2$

Раскроем скобки:

$(m+n)^2 - 9 = m^2 + 2mn + n^2 - 9$

Ответ: $m^2 + 2mn + n^2 - 9$

в)

В выражении $(a - b - 5)(a - b + 5)$ сгруппируем слагаемые: $((a - b) - 5)((a - b) + 5)$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = (a-b)$ и $b = 5$.

$((a-b)-5)((a-b)+5) = (a-b)^2 - 5^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(a-b)^2 - 25 = a^2 - 2ab + b^2 - 25$

Ответ: $a^2 - 2ab + b^2 - 25$

г)

В выражении $(c - d + 8)(c - d - 8)$ сгруппируем слагаемые: $((c - d) + 8)((c - d) - 8)$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = (c-d)$ и $b = 8$.

$((c-d)+8)((c-d)-8) = (c-d)^2 - 8^2$

Раскроем скобки:

$(c-d)^2 - 64 = c^2 - 2cd + d^2 - 64$

Ответ: $c^2 - 2cd + d^2 - 64$

д)

В выражении $(p + 2q - 3)(p - 2q - 3)$ перегруппируем слагаемые для удобства: $((p - 3) + 2q)((p - 3) - 2q)$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = (p-3)$ и $b = 2q$.

$((p-3)+2q)((p-3)-2q) = (p-3)^2 - (2q)^2$

Раскроем скобки:

$(p-3)^2 - (2q)^2 = (p^2 - 6p + 9) - 4q^2 = p^2 - 6p + 9 - 4q^2$

Ответ: $p^2 - 4q^2 - 6p + 9$

е)

В выражении $(a - 3x + 6)(a + 3x + 6)$ перегруппируем слагаемые: $((a + 6) - 3x)((a + 6) + 3x)$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = (a+6)$ и $b = 3x$.

$((a+6)-3x)((a+6)+3x) = (a+6)^2 - (3x)^2$

Раскроем скобки:

$(a+6)^2 - (3x)^2 = (a^2 + 12a + 36) - 9x^2 = a^2 + 12a + 36 - 9x^2$

Ответ: $a^2 - 9x^2 + 12a + 36$