Номер 998, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 12 - номер 998, страница 197.

Условие.

998. Разложите на множители:

а) (х − 5)² − 16;
б) (b + 7)² − 9;
в) 25 − (3 − х)²;
г) 81 − (а + 7)²;

д) (7х − 4)² − (2х + 1)²;
е) (n − 2)² − (3n + 1)²;
ж) 9(а + 1)² − 1;
з) 4 − 25(х − 3)².

Решение 1.

а) (х − 5)² − 16 =
= (x - 5 - 4) (x - 5 + 4) =
= (x - 9) (x - 1);

б) (b + 7)² − 9 =
= (b + 7 - 3) (b + 7 + 3) =
= (b + 4) (b + 10);

в) 25 − (3 − х)² =
= (5 - (3 - x) (5 + 3 - x) =
= (5 - 3 + x) (8 - x) =
= (2 + x) (8 - x);

г) 81 − (а + 7)² =
= (9 - (a + 7)) (9 + a + 7) =
= (2 - a) (16 + a);

д) (7х − 4)² − (2х + 1)² =
= (7x - 4 - 2x - 1) (7x - 4 + 2x + 1) =
= (5x - 5) (9x - 3) =
= 5(x - 1) ⋅ 3(3x - 1) =
= 15(x - 1) (3x - 1);

е) (n − 2)² − (3n + 1)² =
= (n - 2 - 3n - 1) (n - 2 + 3n + 1) =
= (-2n - 3) (4n - 1) =
= -(2n + 3) (4n - 1) =
= (2n + 3) (1 - 4n);

ж) 9(а + 1)² − 1 =
= (3(a + 1) - 1) (3(a + 1) + 1) =
= (3a + 3 - 1) (3a + 3 + 1) =
= (3a + 2) (3a + 4);

з) 4 − 25(х − 3)² =
= (2 - 5(x - 3)) (2 + 5(x - 3)) =
= (2 - 5x + 15) (2 + 5x - 15) =
= (17 - 5x) (5x - 13).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для разложения на множители во всех примерах используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

а) $(x - 5)^2 - 16$

Представим выражение в виде разности квадратов. В данном случае $a = x - 5$ и $b = \sqrt{16} = 4$.
Применяем формулу разности квадратов:
$(x - 5)^2 - 4^2 = ((x - 5) - 4)((x - 5) + 4)$.
Упрощаем выражения в скобках:
$(x - 5 - 4)(x - 5 + 4) = (x - 9)(x - 1)$.
Ответ: $(x - 9)(x - 1)$.

б) $(b + 7)^2 - 9$

Представим выражение в виде разности квадратов. Здесь $a = b + 7$ и $b = \sqrt{9} = 3$.
Применяем формулу:
$(b + 7)^2 - 3^2 = ((b + 7) - 3)((b + 7) + 3)$.
Упрощаем выражения в скобках:
$(b + 7 - 3)(b + 7 + 3) = (b + 4)(b + 10)$.
Ответ: $(b + 4)(b + 10)$.

в) $25 - (3 - x)^2$

Представим выражение в виде разности квадратов. Здесь $a = \sqrt{25} = 5$ и $b = 3 - x$.
Применяем формулу:
$5^2 - (3 - x)^2 = (5 - (3 - x))(5 + (3 - x))$.
Упрощаем выражения в скобках, обращая внимание на знаки:
$(5 - 3 + x)(5 + 3 - x) = (2 + x)(8 - x)$.
Ответ: $(x + 2)(8 - x)$.

г) $81 - (a + 7)^2$

Представим выражение в виде разности квадратов. Здесь $a = \sqrt{81} = 9$ и $b = a + 7$.
Применяем формулу:
$9^2 - (a + 7)^2 = (9 - (a + 7))(9 + (a + 7))$.
Упрощаем выражения в скобках:
$(9 - a - 7)(9 + a + 7) = (2 - a)(16 + a)$.
Ответ: $(2 - a)(a + 16)$.

д) $(7x - 4)^2 - (2x + 1)^2$

Это готовая разность квадратов, где $a = 7x - 4$ и $b = 2x + 1$.
Применяем формулу:
$((7x - 4) - (2x + 1))((7x - 4) + (2x + 1))$.
Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:
$(7x - 4 - 2x - 1)(7x - 4 + 2x + 1) = (5x - 5)(9x - 3)$.
Выносим общие множители из каждой скобки для полного разложения:
$5(x - 1) \cdot 3(3x - 1) = 15(x - 1)(3x - 1)$.
Ответ: $15(x - 1)(3x - 1)$.

е) $(n - 2)^2 - (3n + 1)^2$

Это разность квадратов, где $a = n - 2$ и $b = 3n + 1$.
Применяем формулу:
$((n - 2) - (3n + 1))((n - 2) + (3n + 1))$.
Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:
$(n - 2 - 3n - 1)(n - 2 + 3n + 1) = (-2n - 3)(4n - 1)$.
Можно вынести $-1$ из первой скобки для более аккуратного вида:
$-(2n + 3)(4n - 1)$.
Ответ: $-(2n + 3)(4n - 1)$.

ж) $9(a + 1)^2 - 1$

Представим выражение в виде разности квадратов: $9(a + 1)^2 = (3(a+1))^2$.
Тогда выражение принимает вид $(3(a + 1))^2 - 1^2$.
Здесь $a = 3(a + 1) = 3a + 3$ и $b = 1$.
Применяем формулу:
$((3a + 3) - 1)((3a + 3) + 1)$.
Упрощаем выражения в скобках:
$(3a + 2)(3a + 4)$.
Ответ: $(3a + 2)(3a + 4)$.

з) $4 - 25(x - 3)^2$

Представим выражение в виде разности квадратов: $25(x - 3)^2 = (5(x - 3))^2$.
Тогда выражение принимает вид $2^2 - (5(x - 3))^2$.
Здесь $a = 2$ и $b = 5(x - 3) = 5x - 15$.
Применяем формулу:
$(2 - (5x - 15))(2 + (5x - 15))$.
Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:
$(2 - 5x + 15)(2 + 5x - 15) = (17 - 5x)(5x - 13)$.
Ответ: $(17 - 5x)(5x - 13)$.