Номер 1004, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 12 - номер 1004, страница 197.

Условие.

1004. Докажите, что значение выражения:
а) 41³ + 19³ делится на 60;
б) 79³ − 29³ делится на 50;
в) 66³ + 34³ делится на 400;
г) 54³ − 24³ делится на 1080.

Решение 1.

а) 41³ + 19³ =
= (41 + 19) (41² - 41 ⋅ 19 + 19²) =
= 60 ⋅ (41² - 41 ⋅ 19 + 19²);

б) 79³ - 29³ =
= (79 - 29) (79² + 79 ⋅ 29 + 29²) =
= 50 ⋅ (79² + 79 ⋅ 29 + 29²);

в) 66³ + 34³ =
= (66 + 34) (66² - 66 ⋅ 34 + 34²) =
= 100 (66 ⋅ 66 - 66 ⋅ 34 + 34 ⋅ 34) =
= 100 ⋅ (2 ⋅ 33 ⋅ 2 ⋅ 33 - 2 ⋅ 33 ⋅ 2 ×
× 17 + 2 ⋅ 17 ⋅ 2 ⋅ 17) =
= 100 ⋅ 4(33² - 33 ⋅ 17 + 17²) =
= 400(33² - 33 ⋅ 17 + 17²);

г) 54³ - 24³ =
= (54 - 24) (54² + 54 ⋅ 24 + 24²) =
= 30 ⋅ (54 ⋅ 54 + 54 ⋅ 24 + 24 ⋅ 24) =
= 30 ⋅ (6 ⋅ 9 ⋅ 6 ⋅ 9 + 6 ⋅ 9 ⋅ 6 ⋅ 4 +
+ 6 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 4) =
= 30 ⋅ 36(9 ⋅ 9 + 9 ⋅ 4 + 4 ⋅ 4) =
= 1080(81 + 36 + 16).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для доказательства используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Применим эту формулу к выражению $41^3 + 19^3$, где $a = 41$ и $b = 19$. Получаем:

$41^3 + 19^3 = (41 + 19)(41^2 - 41 \cdot 19 + 19^2) = 60 \cdot (41^2 - 41 \cdot 19 + 19^2)$.

Так как один из множителей в произведении равен 60, а второй множитель $(41^2 - 41 \cdot 19 + 19^2)$ является целым числом, то значение всего выражения делится на 60.

Ответ: что и требовалось доказать.

б) Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Применим ее к выражению $79^3 - 29^3$, где $a = 79$ и $b = 29$. Получаем:

$79^3 - 29^3 = (79 - 29)(79^2 + 79 \cdot 29 + 29^2) = 50 \cdot (79^2 + 79 \cdot 29 + 29^2)$.

Так как один из множителей в произведении равен 50, а второй множитель является целым числом, то значение всего выражения делится на 50.

Ответ: что и требовалось доказать.

в) Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Разложим выражение $66^3 + 34^3$ на множители:

$66^3 + 34^3 = (66 + 34)(66^2 - 66 \cdot 34 + 34^2) = 100 \cdot (66^2 - 66 \cdot 34 + 34^2)$.

Мы видим, что выражение делится на 100. Чтобы доказать делимость на 400, необходимо показать, что второй множитель $(66^2 - 66 \cdot 34 + 34^2)$ делится на 4. Так как 66 и 34 являются четными числами, то $66^2$ делится на 4, $34^2$ делится на 4, и их произведение $66 \cdot 34 = (2 \cdot 33) \cdot (2 \cdot 17) = 4 \cdot 561$ также делится на 4. Сумма (и разность) чисел, делящихся на 4, также делится на 4. Следовательно, второй множитель $(66^2 - 66 \cdot 34 + 34^2)$ делится на 4.

Таким образом, исходное выражение можно представить как произведение $100 \cdot 4k = 400k$ для некоторого целого числа $k$. Это доказывает, что выражение $66^3 + 34^3$ делится на 400.

Ответ: что и требовалось доказать.

г) Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Разложим выражение $54^3 - 24^3$ на множители:

$54^3 - 24^3 = (54 - 24)(54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2) = 30 \cdot (54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2)$.

Мы видим, что выражение делится на 30. Чтобы доказать делимость на 1080, необходимо показать, что второй множитель $(54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2)$ делится на $1080 / 30 = 36$. Рассмотрим этот множитель. Числа 54 и 24 делятся на 6. Представим их как $54 = 6 \cdot 9$ и $24 = 6 \cdot 4$.

Тогда второй множитель равен $(6 \cdot 9)^2 + (6 \cdot 9)(6 \cdot 4) + (6 \cdot 4)^2 = 36 \cdot 9^2 + 36 \cdot 9 \cdot 4 + 36 \cdot 4^2 = 36 \cdot (9^2 + 9 \cdot 4 + 4^2)$. Поскольку этот множитель имеет множитель 36, он делится на 36.

Таким образом, исходное выражение можно представить как произведение $30 \cdot (36k) = 1080k$ для некоторого целого числа $k = (9^2 + 9 \cdot 4 + 4^2)$. Это доказывает, что выражение $54^3 - 24^3$ делится на 1080.

Ответ: что и требовалось доказать.